Épreuve bac 1er groupe - L  2020

Exercice 1

Soit le polynôme $P$ défini pour tout réel $x$ par : $P(x)=\left(-x^{2}+4\right)\left(ax^{2}+bx+c\right)$ avec $a$, $b$ et $c$ sont des réels tel que $a\neq 0.$
 
1. a Déterminer le degré du polynôme $P.$

b. Déterminer deux racines du polynôme $P$

2. On pose pour tout réels $x$, $g(x)=-2x^{2}+7x^{3}+5x^{2}-28x+12.$

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que $g(x)=P(x)$ pour tout réel $x.$

3. Factoriser le polynôme $P$ en un produit de facteurs du premier degré.

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'inéquation $-2x^{4}+7x^{3}+5x^{2}-28x+12\leq 0.$

5. On pose $\mathrm{e}^{x}=X.$

En déduire les solutions de :

a. L'équation suivante : $-2\mathrm{e}^{4x}+7\mathrm{e}^{3x}+5\mathrm{e}^{2x}-28x+12=0$

b. L'inéquation suivante : $\mathrm{e}^{4x}-\dfrac{5}{2}\mathrm{e}^{2}>\dfrac{7}{2}\mathrm{e}^{3x}-14\mathrm{e}^{x}+6$

Exercice 2

Une commune rurale contacte une entreprise pour creuser un points de $15$ mètres de profondeur dans sa circonscription.

L'entreprise propose les tarifs suivants : le premier mètre creusé coûte $30000$ FCFA, le suivant $34000$ FCFA et ainsi de suite en augmentant de $4000$ FCFA, le prix de chaque nouveau mètre creusé et $U_{n}$ le prix du nième mètre creusé.

1. Calculer Calculer $U_{3}$ et $U_{4}$

2. a Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}.$

En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$ pour tout $n\geq 1.$

b. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$, puis calculer $U_{15}$

3.a. Montrer que $C=15\left(\dfrac{U_{1}+U_{15}}{2}\right)$

b. Calculer alors le coût total $C.$

Problème

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+1}{x}$ et $\left(C_{f}\right)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité $1\,cm$

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f.$

2 Calculer les limites aux bornes de $D_{f}$

3.a. Montrer que $f(x)=x+2+\dfrac{1}{x}$ pour tout réel $x$ élément de $D_{f}$

b. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x+2$ est une asymptote oblique à la courbe $\left(C_{f}\right)$ puis préciser l'autre asymptote.

c. Étudier la position relative de $\left(C_{f}\right)$ par rapport à la droite $(D).$

4.a. Montrer que $f'(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x}$ pour tout $x\in D_{f}.$

b. Dresser le tableau de variations de $f.$

5. Tracer la droite $(D)$ et la courbe $\left(C_{f}\right)$ dans un repère.

6. Soit la fonction $F$ définie sur $[2\ ;\ 4]$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\ln x.$

a Montrer que $F'(x)=f(x)$ pour tout réel $x\in[2\ ;\ 4]$

b. Calculer $\int_{2}^{4}f(x)dx.$