Épreuve bac 1er groupe - L 2019

Exercice 1

1. Vérifier que le triplet $\left(11\ ;\ 4\ ;\ -5\right)$ est solution du système suivant.

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&10\\ x-y+z&=&2\\ 4x-2y+z&=&31 \end{array}\right.$

2. Soit le polynôme défini dans $\mathbb{R}$ par : $P(x)=2x^{3}+b^{2}+cx+d$, où $b$, $c$ et $d$ sont des réels.

a. Sachant que $P(1)=12\;,P(-1)=0$ et $P(-2)=15$, montrer que les réels $b$, $c$ et des $d$ sont des solutions du système précédent.

b. En déduire le polynôme $P(x).$

3. On pose $P(x)=2x^{3}+11x^{2}+4x-5$

a. Montrer que $-5$ est une racine de $P.$

b. Factoriser $P(x).$

c. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$

d. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'inéquation $P(x)\geq 0.$

4. Déduis de la question $3.c$ les solutions des équations suivantes :

a. $2(\ln x)^{3}+11(\ln x)^{2}+4(\ln x)-5=0$

b. $2\mathrm{e}^{3x+2}+11\mathrm{e}^{2x+2}+4\mathrm{e}^{x+2}-5\mathrm{e}^{2}=0$

Exercice 2

Lors d'une kermesse scolaire, un élève dispose dans son porte-monnaie de :

$\bullet\ $Trois pièces de $500\,F$ CFA.

$\bullet\ $Deux pièces de $250\,F$ CFA.

$\bullet\ $Six pièces de $100\,F$ CFA. Le ticket d'entrée coûte $500\,F$ CFA.

L'élève tire de son porte-monnaie simultanément deux pièces au hasard.

1. Déterminer le nombre de tirages qu'il peut effectuer ainsi que les montants possibles.

2 Déterminer la probabilité des évènements suivants associés à l'expérience précédente.

A : « Il a tiré exactement un montant de $600\,F$

B : « Il a tiré exactement $1000\,F$ CFA »

C : « Il a tiré un montant insuffisant pour payer le ticket »

D : « Il a tiré un montant supérieur ou égal au prix du ticket »

Problème 

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x-\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1}.$

On appelle $\left(C_{f}\right)$ sa courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

1. Donner l'ensemble de définition de $f.$

2. Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de $f.$

3. Calculer $f'(x)$ puis déterminer son signe.

4. Dresser le tableau de variations de $f.$

5. On admet que pour tout $x\in\mathbb{R}\;,f(x)=x+1-2\dfrac{2}{\mathrm{e}^{-x}+1}=x-1+\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}+1}$

Montrer que les droites $\left(D_{1}\right)\ :\ y=x+1$ et $\left(D_{2}\right)\ :\ y=x-1$ sont des asymptotes obliques à $\left(C_{f}\right)$ respectivement en $-\infty$ et en $+\infty$

6. Écrire une équation de la tangente $(T)$ à $\left(C_{f}\right)$ au point d'abscisse $x_{0}=0$

7. Tracer les asymptotes, la tangente $(T)$ et la courbe représentative $\left(C_{f}\right)$ dans le repère.

8. a Vérifier que pour tout $x\;,f(x)=x+1-\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}+1}$, puis en déduire une primitive $F$ de $f.$

b. Calculer l'aire en $cm^{2}$ du domaine délimité par la courbe $\left(C_{f}\right)$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$