Épreuve bac du 1er groupe - L 2018

Exercice 1

Un porte-monnaie contient trois pièces de $100\,F$ CFA, deux pièces de $50\,F$ CFA et une pièce de $25\,F$ CFA.

On tire simultanément deux pièces du porte-monnaie et on considère le gain obtenu.
 
1. Recopier et compléter le tableau des gains ci-dessous :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Pièces tirées }&&100\,F\text {CFA et }50\,f\text{CFA}&&&\\ \hline \text{Gain obtenu en F CFA}&200&150&&&\\ \hline \end{array}$

2. Calculer la probabilité de chacun des évènements ci-dessous :

A : « Avoir un gain de $200\,f$ CFA. »

B : « Avoir deux pièces de même valeur »

C : « Avoir un gain égal au moins à $150\,$ CFA »

D : « Avoir un gain égal au plus à $150\,f$ CFA »

Exercice 2

Soit la fonction numérique $h$ définie par : $h(x)=\dfrac{2\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+1}$

1.  Montrer que le domaine de définition $D_{h}$ de $h$ est $\mathbb{R}$

2. Montrer que pour tout $x\in D_{h}\;,h(x)=1+\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{x}+1}$

3. Soit la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$, par $k(x)=x\ln\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)$

Montrer que $k$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}.$

4. Calculer l'intégrale $J=\int_{0}^{2}h(x)dx$

Soit la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+2x-3}$

$\left(\mathcal{C}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

1. Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f.$

2. Déterminer les limites aux bornes de $D_{f}.$

3. Préciser les asymptotes à la courbe $(C)$ de $f.$

4. Montrer que la fonction dérivée $f'$ de f est définie par : $f'(x)=\dfrac{2x^{2}-6x}{\left(x^{2}+2x-3\right)^{2}}$

5. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $D_{f}$ puis dresser le tableau de variations de $f.$

6. Donner une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$

7. Tracer les asymptotes, la tangente $(T)$ et la courbe $(C)$ de $f$ dans le repère.