Épreuve bac du 1er groupe - L 2013

Exercice 1

Soit la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$, définie par $f(x)=x^{3}-3x+2$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 

$\text{(unité graphique }1\;,cm)$

1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes du domaine de définition puis préciser les branches infinies de $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$

2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ puis dresser le tableau de variations de $f.$

3. Montrer que le points $I(0\ ;\ 2)$ est un centre de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

4. Calculer en $cm^{2}$ l'aire du domaine délimité par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0.$

Exercice 2

En marge du sommet de $l'OCI$, un groupe de $12$ hommes d'affaires dont $5$ saoudiens, $4$ marocains et $3$ sénégalais s'étant réunis décident d'élire un bureau composé d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire pour coordonner leurs activités ; une personne ne peut pas cumuler deux fonctions.

1. Déterminer le cardinal de l'univers $\Omega.$

2. Calculer la probabilité des événements suivants :

A : « le bureau est composé de $3$ hommes de même nationalité »

B : « le bureau est composé de $3$ hommes de nationalités différentes » (chaque nationalité est représentée)

C : « un sénégalais est élu président »

D : « un sénégalais et un saoudien prennent les postes de président et de vice-président 

Exercice 3

Soit la suite $\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{0}&=&8\\ U_{n+1}&=&\dfrac{1}{4}U_{n}+1 \end{array}\right.$

1. Calculer $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$

2. Soit la suite $\left(V_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :  $V_{n}=U_{n}-\dfrac{4}{3}$

Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

3. Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ puis $U_{n}$ en fonction de $n.$

4. Calculer $S_{n}$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $\left(V_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de $n.$

En déduire la somme $S^{'}_{n}$ des $n$ premiers termes de la suite $\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$