Épreuve bac 1er groupe - L 2011

Exercice 1

Soit le polynôme $P(x)=x^{3}+ax^{2}+xb +6$ où $a$ et $b$ sont des réels.

1. Déterminer les réels a et b sachant que $P(-2)=0$ et $P(-1)=8$

2 On pose $(P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$

a. Factoriser $P(x)$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$

c. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'inéquation $P(x)\geq 0$

d. Déduire de la question $2.b$ les solutions de l'équation $(E)$ :

$\mathrm{e}^{3x+1}-2\mathrm{e}^{2x+1}-5\mathrm{e}^{x+1}+6\mathrm{e}=0$

Exercice 2

Une urne contient $n$ boules  dont $7$ sont blanches et $(n-7)$ sont noires.

On tire successivement sans remise deux boules de l'urne, les boules ont la même probabilité d'être tirées.

1. On suppose que la probabilité de tirer deux boules de même couleur vaut $\dfrac{19}{40}.$

Calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.

2. a Soit $\Omega$ l'univers, montrer que $\text{card }(\Omega)=n(n-1)$

b Déterminer n sachant que $\text{card }(\Omega)=240$

3. On suppose que $n=16.$

Calculer la probabilité des événements suivants :

a.A « la première boule tirée est blanche et la deuxième boule tirée est noire »

b.B : « on tire deux boule blanches »

Problème

On considère la fonction numérique de la variable réelle $X$, définie par : $f(x)=x-1+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$

1. Étudier le signe de $\dfrac{x-1}{x+1}$ et en déduire le domaine de définition $D_{f}$ de $f$

2. Trouver les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$, puis donner le tableau de variations de $f.$

3.a Vérifier que $(\Delta)$ d'équation ; $y=x-1$ est une asymptote à $\left(C_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

b. Étudier la position relative de $(\Delta)$ par rapport à $\left(\mathcal{C}\right)$

4.a Déterminer les autres asymptotes de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

b. Montrer que le point $I\left(O\ ;\ -1\right)$ est centre de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$