COMPOSITION DU SECOND SEMESTRE 2022/2023

Exercice 1 : 

   
A) Soit $P$ un polynôme défini par : $P(x)= 2x^{4}-x^{3}-26x^{2}+ax+2b$

1) Déterminer les réel $a$ et $b$ pour que $1$ et $3$ soient des racines de $P$

2) On pose $a=37$ et $b=6$

a) Déterminer par la méthode de Horner le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)(x-3)Q(x)$.  

b) Factoriser $Q(x)$ puis en déduire une factorisation complète de $P(x)$.

c) Résoudre dans IR :

i)$P(x)= 0; ii)P(-x+2)=0    ; iii)P(x)<0$

B) Soit $M(x)=\dfrac{2x^{3}+5x^{2}-11x+4}{-x^{3}+6x-5}$

1) Déterminer le domaine d’existence de $M$ .

2) Simplifier $M(x)$ pour $x\ne 1$.  

3) Résoudre dans $IR : M(x)\leq 0$

Exercice 2:

On considère l’équation paramétrique $(Em): (m + 10)x^{2} − (2m − 4)x + m = 0$

1) Résoudre l’équation  $(E_{m})$ pour $m = −\dfrac{3}{2}$

2) Déterminer $m$ pour que $(E_{m})$ admette deux solutions distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ .

3) On suppose que $x_{1}$ et $x_{2}$ existent.

Déterminer les valeurs de $m$ telles que $(E_{m})$:

a) admette deux solutions opposées.

b) admette deux solutions inverses.  

c) admette deux solutions de même signe.

Exercice 3 :

 
On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé $( O,\vec{i},\vec{j})$ les droites $(D_{1}) , (D_{2})$ et $(D_{3})$ définies par : $$D_{1} ∶ y = ─ 5 ; D_{2} ∶\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x = −8 + t \quad t\in \mathbb{R}\\
y = −3 + t
\end{array}\right.
D_{3} ∶\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x= 1 − t \quad t\in \mathbb{R}\\
y = 3 + t
\end{array}\right.$$

1. Donner une équation cartésienne de chacune des droites $(D_{2})$ et $ (D_{3})$

2. Soient $ {A} = D_{2} ∩ (D_{3} , {B} = D_{1} ∩ (D_{3}$ et ${C} = D_{1} ∩ D_{2}$ .

Déterminer les coordonnées des points $A, B$ et $C$.

3. a) Montrer que les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{OB}$ sont orthogonaux.

b) Montrer que $O$ est l’orthocentre du triangle $ABC$.

4. On désigne par $A ′ , B ′$ et $C '$ les milieux de $[BC],[AC]$ et $[AB]$ et par $M, N, P$ les symétriques de $O$ par rapport aux points $A ′ , B ′$ et  $C ′$.

Déterminer les coordonnées de  $M, N$ et $P$.

Exercice 4

 
Soit un nombre réel $\alpha$ tel que $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$.

Soit $ABC$ un triangle isocèle de sommet principal $A$ tel que $mes (\vec{AB};\vec{AC})$.

$H$ et $I$ sont les pieds des hauteurs issues respectivement de $A$ et $B$.

On pose $\alpha=AB$

1. Démontrer que :$BC=2\alpha \sin(\alpha)$

2. Démontrer que :$BI=\cos(\alpha)$    

3. Démontrer que :$BI=\alpha\sin(2\alpha) $

4. En déduire que :$\sin 2\alpha= 2\sin\alpha\cos\alpha$