Épreuve bac 1er groupe - L1 2024

Exercice 1

Pour chaque item choisir la bonne réponse dans la colonne de droite, sachant qu'une seule réponse et correcte.

Chaque bonne réponse rapporte.

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ ITEMS }&\text{REPONSES }\\ \hline 1.\text{Si les fonctions }f\text{ et }g\text{sont définies }&a.\text{(gof)}(2)=4\\ \text{par }f(x)=\sqrt{x^{2}-9}&b.\text{fog}(3)=-3\\ \text{et }g(x)=\dfrac{x+3}{x-1}\;,\text{alors :}&c.\text{(gof)}(3)=-3\\ \hline 2.\text{ Si la fonction }f\text{ est définie }&a.\text{ La dérive de }f\text{ est }f'(x)=\dfrac{1}{\left(1+\mathrm{e}^{2}\right)}^{2}\\ \text{par }f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}\text{ alors :}&b.\text{ Une primitive de }f\text{ sur }\mathbb{R}\text{ est}\\&F(x)=\ln\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\\ &c. f\text{est définie dans }\mathbb{R}{-1}\\ \hline 3.\text{Une radio a commmencé à émettre en l'an }2000&a. U_{n+1}=0.8U_{n}+4000\\ \text{avec }5000\text{ auditeurs. Chaque annnée elle perd }&b. U_{n+1}=0.8U_{n}+4000\\ 20\%\text{de ses auditeurs, mais elle en accueille }4000&c. U_{n+1}=0.8U_{n}+5000\\ \text{nouveaux. Soit }U_{n}\text{ le nombre d'auditeurs de la }&\\ \text{radio en l'an }2000+n&\\ \hline 4.\text{ On choisit au hasard, succivement et sens }&. \dfrac{1}{20}\\ \text{remises }3\text{ jetons et }3\text{jetons rouges. La}&b. \dfrac{3}{10}\\ \text{probabilité de tirer }3\text{jetons de couleurs }&c. \dfrac{A_{1}^{1}\times A_{2}^{1}\times A_{3}^{1}}{A_{6}^{3}}\\ \hline \end{array}$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. L'équation $\ln(2x+1)+\ln(x-1)=\ln 2$

b. L'inéquation $\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}-4\leq 0$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \ln x+\ln y&=&\ln 2\\ \mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{y}&=&\mathrm{e}^{3} \end{array}\right.$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ :

a. Le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+z&=&-2\\ 2x+y-2z&=&6\\ x-3y-z&=&-4 \end{array}\right.$

b. En déduire la résolution du système :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \ln x-\ln y+\ln z&=&-2\\ \ln\left(x^{2}\right)+\ln y-\ln\left(z^{2}\right)&=&6\\ \ln x-\ln\left(y^{3}\right)-\ln z&=&-4 \end{array}\right.$

Problème 

Soit la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$, définie par $f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité graphique $1\,cm$

1. a. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f$, puis calculer les limites aux bornes de $D_{f}.$

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2.a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln x\leq 0$

b. Montrer que la dérivée de $f$ est définie pour tout $x>0$, par $f'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^{2}}$, puis étudier son signe.

c. Dresser le tableau de variations de $f.$

3. Étudier l'intersection de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ avec l'axe des abscisses.

4. Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

5. Soit la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}(\ln x)^{2}+\ln x.$

a. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ dans $]0\ ;\ +\infty[$

b. Calculer en $cm^{2}$ l'aire $\mathbb{A}$ du domaine plan délimité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses, ainsi que les droites $\left(D_{1}\right)\ :\ x=1$ et $\left(D_{2}\right)\ :\ x=\mathrm{e}$