On considère l'équation \((E): (m + 1)x^2 + 2mx + m - 5 = 0\).
1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), l'existence et le signe des racines de \((E)\). $(1~\text{pt})$
2. Déterminer \(m\) pour que \((E)\) ait deux racines \(x'\) et \(x''\) vérifiant \(-1 < x' < 1 < x''\). $(0.75~\text{pt})$
ABC est un triangle du plan tel que : AB = 4cm , AC = 5cm et \(\cos ((\widehat{A})=\frac{3}{5}\).
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a. \(\sqrt{2x^{2} - 3x - 2} = 2x^{2} - 3x - 1 \) $(1~\text{pt})$
b. \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} \geq x + 3 \) $(1~\text{pt})$
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\) :
\[
(m^{2} - 1)(-2x^{2} + 3x - 1) < 0 \\ (1~\text{pt})
\]
On donne le polynôme $f_{m}$ défini par : $f_{m}=x^{2}+2(m-1)x+m^{2}-1$ où $m$ est un
paramètre réel.
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f_{m}(x)=0$
2. On suppose que $m<1$
Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $f_{m}(x)$ avec $x_{1}<x_{2}$
Étudier la position de $-m$ par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$
Dans tout l'exercice, $\theta$ est un réel tel que $0<\theta <\dfrac{\pi}{2}$
On considère dans $C$ l'équation d'inconnue $z$ suivante: $$\left(E_{\theta}\right)\ :\ z^{2}-2z+\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=0$$
Soit $P_{\theta}$ le polynôme défini par :
$P_{0}(z)=z^{3}-\left(2+i\tan\theta\right)z^{2}+\left(1+\tan^{2}\theta+2i\tan\theta\right)z-i\tan\theta\left(1+\tan^{2}\theta\right)$
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré supérieur à $2$ vérifiant, pour tout $x$ réel :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(x)&=&(x-2)Q_{1}(x)-5\\ P(x)&=&(x+4)Q_{2}(x)+7 \end{array}\right.\text{ où }Q_{1}\text{ et }Q_{2}\text{sont des polynômes à coefficients réels.}$
Déterminer le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x^{2}+2x-8$
1. Énoncer clairement les théorèmes suivants.
a. Théorème des valeurs intermédiaires.
b. Théorème de la bijection.
c. Théorème de l'inégalité des accroissements finis $(TIAF)$
Déterminer les limites suivantes :
a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
A : $x^{3}+6x-7=0$ ;
B : $\sqrt{111-x}=x-5$ ;
C : $\sqrt{111-x^{3}-6x}=x^{3}+6x-5$
D : $\sqrt{x+2}\leq x$
2. Résoudre par la méthode de pivot de Gauss le système suivant :
Énoncer de manière concise et précise :
1.le théorème de Roll
2. le théorème des accroissements finis
3. le théorème des accroissements finis généralisés
4. le théorème de l'inégalité des accroissements finis
a. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et s'il existe de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in[a\;,b]$, $m\leq f'(x)\leq M$ alors $m(\ldots)\leq f(b)-f(a)\leq\ldots$