Olympiades ENSAE - 1er S 2025

  • Posted on: 8 May 2025
  • By: sbana

Exercice 1

Cet exercice est composé de parties $A$, $B$ et $C$  dans une large mesure indépendantes.
 
Partie A :

On définit par $A$ l'ensemble des fonctions $f\ :\  [0\;,1]\rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant les conditions suivantes :

$\bullet\ $Pour tous réels $\alpha$ et $\beta\in[0\;,1]/\alpha <\beta$ si $f(\alpha)\times f(\beta)\leq 0$ alors il existe au moins $\overline{x}]\alpha\;,\beta[$ tel que $f\left(\overline{x}\right)=0$

$\bullet\ f(x)=f(1)=0$

$\bullet\ $Pour tout $x$ réel de l'intervalle $\left[0\;,\dfrac{7}{10}\right]\;,f\left(x+\dfrac{3}{10}\right)\neq f(x)$

Soit $f$ un élément de $A.$

On définit une fonction $h\ :\ \left[0\;,\dfrac{7}{10}\right]\rightarrow\;,\mathbb{R}$ donnée par : $h(x)=f\left(x+\dfrac{3}{10}\right)-f(x)$, pour tout $x\left[0\;,\dfrac{7}{10}\right]$

On suppose que h vérifie la condition $(1)$
 
$(1)$ Montrer que $h(x)$ est de signe constant sur $[0\;,\dfrac{7}{10}]$

$(2)$ Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins sept solutions sur $[0\;,\dfrac{7}{10}]$
 
Partie B :

Les martiens sont les habitants, en nombre éventuellement infini, de la planète Mars.

Vis à vis d'eux-mêmes et de leurs semblables, les martiens sont capables de ressentir deux types d'émotions, qu'ils appellent amour et respect.

Il a été observé que :  

$\bullet\ $Chaque martien aime un et un seul martien, et respecte un et un seul martien.
 
$\bullet\ $Si $A$ aime $B$, alors tout martien qui respecte $A$ aime également $B$
 
$\bullet\ $ Si $A$ respecte $B$, alors tout martien qui aime $A$ respecte également $B.$
 
$\bullet\ $Chaque martien est aimé d'au moins un martien.  

On se propose de vérifier s'il est vrai que chaque martien respecte le martien qu'il aime.
 
Pour chaque martien $x$ , on désigne respectivement par $f(x)$ et $g(x)$ les martiens aimés et respectés par $x$

$(1)$ Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont bien définies de l'ensemble $X$ des martiens sur lui-même.
 
$(2)$ Montrer que $f[g(x)]=f(x)$ et $g[f(x)]=g(x)$ pour tout $x$ dans $X$
 
$(3)$ Montrer finalement que, pour tout $x$, on a $f(x)=g(x)=x$
 
$(4)$ Conclure !

Partie C :

Soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, $m_{1}$, $m_{2}$, $\ldots$, $m_{n}$ des réels et $\mathrm{e}_{1}$, $\mathrm{e}_{2}$, $\ldots$, $\mathrm{e}_{n}$

des réels strictement, positifs on a :
$$\begin{array}{rcl}\dfrac{m_{1}^{2}}{\mathrm{e}_{1}}+\dfrac{m_{2}^{2}}{\mathrm{e}_{2}}+\ldots+\dfrac{m_{n}^{2}}{\mathrm{e}_{2}}\geq\dfrac{\left(m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}\right)^{2}}{\mathrm{e}_{1}+\mathrm{2}+\ldots+\mathrm{e}_{n}}\end{array}$$

Cette inégalité est connue sous le nom de l'inégalité des Mauvais Élèves $(IME)$
En appliquant l'$IME$, montrer que :

$(1)$ Si $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ sont $n$ réels strictement positifs alors :

$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\ldots+\dfrac{1}{a_{n}}\geq\dfrac{n^{2}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}$
 
$(2)$ Si $a$, $b$ et $c$ sont $3$ réels strictement positifs alors :

$\dfrac{a}{a+2c}+\dfrac{b}{b+2a}+\dfrac{c}{c+2b}\geq 1$

$(3)$ Si $x$, $y$ et $z$ sont réels strictement positifs tels que : $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=1$ alors $xyz\geq 8$

On considère la figure suivante où $ABMN$ et $ARSC$ sont des carrés construits à partir du triangle $ABC$

On construit en outre le parallélogramme $ANA'R$

1. a. Démontrer que $\left(AA'\right)$ est une hauteur du triangle $ABC$

b. Démontrer que $AA'=BC$

2. On considère les parallélogramme $NARA'$, $QBMB'$ et $SCPC'$

Justifier que $\left(AA'\right)$, $\left(BB'\right)$ et $\left(CC'\right)$ sont concourantes.

b. Démontrer que dans un triangle $ABC$, si $M$ désigne le milieu de $[BC]$ alors : $AB^{2}+ac^{2}=2\left(BM^{2}+AM^{2}\right)$ (Théorème d'Apollonius).

c. En déduire que $NR^{2}+QM^{2}+SP^{2}=3\left(AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}\right)$

Exercice 3

$\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des nombres réels.

Dans ce problème, on cherche à déterminer les applications $f$ définies sur $]0\ ;\ +\infty[$ et à valeurs dans $]0\ ;\ +\infty[$  vérifiant les deux propriétés suivantes :

$\bullet\ $pour tous nombres réels strictement positifs $x$ et $y$, $f[xf(y)]=yf(x)$ ;
 
$\bullet\ f$ est bornée sur $[1\ ;\ +\infty[$ il existe un nombre réel $A$ tel que pour tout nombre réel $x\geq 1$, $f|f(x)|\leq A$

Partie I

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $h$ une application définie sur $I$ et à valeurs dans $I$

On dit que est $h$ une involution de $I$ si pour tout nombre réel $x$ dans $I\;,h[h(x)]=x$

1. Donner un exemple d'involution de $\mathbb{R}$ dans R autre que l'identité.

2. Donner un exemple d'involution de $]0\ ;\ +\infty[$ dans $]0\ ;\ +\infty[$ autre que l'identité.   

3. Montrer qu'une involution de $I$ dans $I$ est bijective.

Partie II

Soit $f$ une fonction vérifiant les deux conditions citées au début de l'énoncé.
 
1. Soit deux nombres réels $y_{1}$, $y_{2}$ strictement positifs tels que $f\left(y_{1}\right)=f\left(y_{2}\right).$

Montrer que $y_{1}f(1)=y_{2}f(1)$

2. Montrer que $f$ est injective.
 
3. Montrer que $f[f(1)]=f(1)$ puis $f(1)$ puis que $f(1)=1$
 
4. Montrer que $f$ est une involution de $]0\ ;\ +\infty[$

5. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

Montrer que $f(ab)=ff(a)f(b)$

Indication : on pourra poser $b=f(y)$

Partie III

On note $F$ l'ensemble des points fixes de $f$ : $F=\lbrace x\in]0\ ;\`+\infty\left[/f(x)=x\right\rbrace$
 
1) Montrer que pour tout $x\in]0\ ;\ +\infty[\;,xf(x)$ est un élément de  $F.$

2. Montrer que $1$ est un élément de $F.$
 
3. Montrer que si $x$ et $y$ sont des éléments de $F$, alors $xy$ et $\dfrac{x}{y}$
 sont également des éléments de $F.$
 
4. Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors pour tout entier naturel $n$, $xn$ est un élément de $F$

5. Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors $x=1$

Indication : on pourra considérer l'application : $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ définie par $x_{n}x^{n}$

6. Montrer que $F=\lbrace 1\rbrace$
 
7. En déduire $f.$
 
8. Donner enfin toutes les applications répondant au problème posé.

 

 

Tags: 
Première
Olympiades
Niveau: 
Première
Classe: 
Première
Type: 
Olympiades
Série: 
S

Commentaires

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GeorgeRop (non vérifié)

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RonaldDeeks (non vérifié)

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• Epstein files: The Senate is officially sending the bill compelling the Department of Justice to release all of its case files tied to convicted sex offender Jeffrey Epstein to President Donald Trump’s desk for his signature.
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• Trump expected to sign it: The president has said he’ll sign the bill and will do so “whenever it gets to the White House,” a senior administration official said. It’s unclear if the DOJ would release the files if the measure is signed or whether they will remain tied up in investigations.
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• Stark reversal: The speed with which the legislation moved through both chambers of Congress yesterday marked a stark reversal after months of Trump and GOP leaders working to quash it.

• Meanwhile: After hosting Crown Price Mohammed bin Salman at the White House yesterday, Trump will make remarks at the US-Saudi Investment Forum today.

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jeu, 11/20/2025 - 13:53

Don Mueang International Airport, Thailand (DMK)
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Are you an avgeek with a mean handicap? Then it’s time to tee off in Bangkok, where Don Mueang International Airport has an 18-hole golf course between its two runways. If you’re nervous from a safety point of view, don’t be — players at the Kantarat course must go through airport-style security before they hit the grass. Oh, you meant safety on the course? Just beware of those flying balls, because there are no barriers between the course and the runways. Players are, at least, shown a red light when a plane is coming in to land so don’t get too distracted by the game.
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Although Suvarnabhumi (BKK) is Bangkok’s main airport these days — it opened in 2006 —Don Mueang, which started out as a Royal Thai Air Force base in 1914, remains Bangkok’s budget airline hub, with brands including Thai Air Asia and Thai Lion Air using it as their base. Although you’re more likely to see narrowbodies these days, you may just get lucky — in 2022, an Emirates A380 made an emergency landing here. Imagine the views from the course that day.

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Sumburgh Airport, Scotland (LSI)
The road south from Lerwick cuts across the runway of Sumburgh Airport on Shetland.
The road south from Lerwick cuts across the runway of Sumburgh Airport on Shetland. Alan Morris/iStock Editorial/Getty Images
Planning a trip to Jarlshof, the extraordinarily well-preserved Bronze Age settlement towards the southern tip of Shetland? You may need to build in some extra time. The ancient and Viking-era ruins, called one of the UK’s greatest archaeological sites, sit just beyond one of the runways of Sumburgh, Shetland’s main airport — and reaching them means driving, cycling or walking across the runway itself.

There’s only one road heading due south from the capital, Lerwick; and while it ducks around most of the airport’s perimeter, skirting the two runways, the road cuts directly across the western end of one of them. A staff member occupies a roadside hut, and before take-offs and landings, comes out to lower a barrier across the road. Once the plane is where it needs to be, up come the barriers and waiting drivers get a friendly thumbs up.

Amata Kabua International Airport, Marshall Islands (MAJ)
Fly into Majuro and you'll skim across the Pacific and land on the runway that's just about as wide as the sandbar-like island itself.
Fly into Majuro and you'll skim across the Pacific and land on the runway that's just about as wide as the sandbar-like island itself. mtcurado/iStockphoto/Getty Images
Imagine flying into Majuro, the capital of the Marshall Islands in Micronesia. You’re descending down, down, and further down towards the Pacific, no land in sight. Then you’re suddenly above a pencil-thin atoll — can you really be about to land here? Yes you are, with cars racing past the runway no less, matching you for speed.

Majuro’s Amata Kabua International Airport gives a whole new meaning to the phrase “water landing”. Its single runway, just shy of 8,000ft, is a slim strip of asphalt over the sandbar that’s barely any wider than the atoll itself — and the island is so remote that when the runway was resurfaced, materials had to be transported from the Philippines, Hong Kong and Korea, according to the constructors. “Lagoon Road” — the 30-mile road that runs from top to toe on Majuro — skims alongside the runway.
Don’t think about pulling over, though — there’s only sand and sea on one side, and that runway the other.

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At Scotland’s beach airport, the runway disappears at high tide

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TerrySat (non vérifié)

jeu, 11/20/2025 - 14:00

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