Olympiades ENSAE - 1er S 2025
Exercice 1
Cet exercice est composé de parties $A$, $B$ et $C$ dans une large mesure indépendantes.
Partie A :
On définit par $A$ l'ensemble des fonctions $f\ :\ [0\;,1]\rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant les conditions suivantes :
$\bullet\ $Pour tous réels $\alpha$ et $\beta\in[0\;,1]/\alpha <\beta$ si $f(\alpha)\times f(\beta)\leq 0$ alors il existe au moins $\overline{x}]\alpha\;,\beta[$ tel que $f\left(\overline{x}\right)=0$
$\bullet\ f(x)=f(1)=0$
$\bullet\ $Pour tout $x$ réel de l'intervalle $\left[0\;,\dfrac{7}{10}\right]\;,f\left(x+\dfrac{3}{10}\right)\neq f(x)$
Soit $f$ un élément de $A.$
On définit une fonction $h\ :\ \left[0\;,\dfrac{7}{10}\right]\rightarrow\;,\mathbb{R}$ donnée par : $h(x)=f\left(x+\dfrac{3}{10}\right)-f(x)$, pour tout $x\left[0\;,\dfrac{7}{10}\right]$
On suppose que h vérifie la condition $(1)$
$(1)$ Montrer que $h(x)$ est de signe constant sur $[0\;,\dfrac{7}{10}]$
$(2)$ Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins sept solutions sur $[0\;,\dfrac{7}{10}]$
Partie B :
Les martiens sont les habitants, en nombre éventuellement infini, de la planète Mars.
Vis à vis d'eux-mêmes et de leurs semblables, les martiens sont capables de ressentir deux types d'émotions, qu'ils appellent amour et respect.
Il a été observé que :
$\bullet\ $Chaque martien aime un et un seul martien, et respecte un et un seul martien.
$\bullet\ $Si $A$ aime $B$, alors tout martien qui respecte $A$ aime également $B$
$\bullet\ $ Si $A$ respecte $B$, alors tout martien qui aime $A$ respecte également $B.$
$\bullet\ $Chaque martien est aimé d'au moins un martien.
On se propose de vérifier s'il est vrai que chaque martien respecte le martien qu'il aime.
Pour chaque martien $x$ , on désigne respectivement par $f(x)$ et $g(x)$ les martiens aimés et respectés par $x$
$(1)$ Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont bien définies de l'ensemble $X$ des martiens sur lui-même.
$(2)$ Montrer que $f[g(x)]=f(x)$ et $g[f(x)]=g(x)$ pour tout $x$ dans $X$
$(3)$ Montrer finalement que, pour tout $x$, on a $f(x)=g(x)=x$
$(4)$ Conclure !
Partie C :
Soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, $m_{1}$, $m_{2}$, $\ldots$, $m_{n}$ des réels et $\mathrm{e}_{1}$, $\mathrm{e}_{2}$, $\ldots$, $\mathrm{e}_{n}$
des réels strictement, positifs on a :
$$\begin{array}{rcl}\dfrac{m_{1}^{2}}{\mathrm{e}_{1}}+\dfrac{m_{2}^{2}}{\mathrm{e}_{2}}+\ldots+\dfrac{m_{n}^{2}}{\mathrm{e}_{2}}\geq\dfrac{\left(m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}\right)^{2}}{\mathrm{e}_{1}+\mathrm{2}+\ldots+\mathrm{e}_{n}}\end{array}$$
Cette inégalité est connue sous le nom de l'inégalité des Mauvais Élèves $(IME)$
En appliquant l'$IME$, montrer que :
$(1)$ Si $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ sont $n$ réels strictement positifs alors :
$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\ldots+\dfrac{1}{a_{n}}\geq\dfrac{n^{2}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}$
$(2)$ Si $a$, $b$ et $c$ sont $3$ réels strictement positifs alors :
$\dfrac{a}{a+2c}+\dfrac{b}{b+2a}+\dfrac{c}{c+2b}\geq 1$
$(3)$ Si $x$, $y$ et $z$ sont réels strictement positifs tels que : $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=1$ alors $xyz\geq 8$
On considère la figure suivante où $ABMN$ et $ARSC$ sont des carrés construits à partir du triangle $ABC$
On construit en outre le parallélogramme $ANA'R$
1. a. Démontrer que $\left(AA'\right)$ est une hauteur du triangle $ABC$
b. Démontrer que $AA'=BC$
2. On considère les parallélogramme $NARA'$, $QBMB'$ et $SCPC'$
Justifier que $\left(AA'\right)$, $\left(BB'\right)$ et $\left(CC'\right)$ sont concourantes.
b. Démontrer que dans un triangle $ABC$, si $M$ désigne le milieu de $[BC]$ alors : $AB^{2}+ac^{2}=2\left(BM^{2}+AM^{2}\right)$ (Théorème d'Apollonius).
c. En déduire que $NR^{2}+QM^{2}+SP^{2}=3\left(AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}\right)$
Exercice 3
$\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des nombres réels.
Dans ce problème, on cherche à déterminer les applications $f$ définies sur $]0\ ;\ +\infty[$ et à valeurs dans $]0\ ;\ +\infty[$ vérifiant les deux propriétés suivantes :
$\bullet\ $pour tous nombres réels strictement positifs $x$ et $y$, $f[xf(y)]=yf(x)$ ;
$\bullet\ f$ est bornée sur $[1\ ;\ +\infty[$ il existe un nombre réel $A$ tel que pour tout nombre réel $x\geq 1$, $f|f(x)|\leq A$
Partie I
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $h$ une application définie sur $I$ et à valeurs dans $I$
On dit que est $h$ une involution de $I$ si pour tout nombre réel $x$ dans $I\;,h[h(x)]=x$
1. Donner un exemple d'involution de $\mathbb{R}$ dans R autre que l'identité.
2. Donner un exemple d'involution de $]0\ ;\ +\infty[$ dans $]0\ ;\ +\infty[$ autre que l'identité.
3. Montrer qu'une involution de $I$ dans $I$ est bijective.
Partie II
Soit $f$ une fonction vérifiant les deux conditions citées au début de l'énoncé.
1. Soit deux nombres réels $y_{1}$, $y_{2}$ strictement positifs tels que $f\left(y_{1}\right)=f\left(y_{2}\right).$
Montrer que $y_{1}f(1)=y_{2}f(1)$
2. Montrer que $f$ est injective.
3. Montrer que $f[f(1)]=f(1)$ puis $f(1)$ puis que $f(1)=1$
4. Montrer que $f$ est une involution de $]0\ ;\ +\infty[$
5. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
Montrer que $f(ab)=ff(a)f(b)$
Indication : on pourra poser $b=f(y)$
Partie III
On note $F$ l'ensemble des points fixes de $f$ : $F=\lbrace x\in]0\ ;\`+\infty\left[/f(x)=x\right\rbrace$
1) Montrer que pour tout $x\in]0\ ;\ +\infty[\;,xf(x)$ est un élément de $F.$
2. Montrer que $1$ est un élément de $F.$
3. Montrer que si $x$ et $y$ sont des éléments de $F$, alors $xy$ et $\dfrac{x}{y}$
sont également des éléments de $F.$
4. Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors pour tout entier naturel $n$, $xn$ est un élément de $F$
5. Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors $x=1$
Indication : on pourra considérer l'application : $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ définie par $x_{n}x^{n}$
6. Montrer que $F=\lbrace 1\rbrace$
7. En déduire $f.$
8. Donner enfin toutes les applications répondant au problème posé.
Commentaires
CarmenIcent (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 04:08
Permalien
Ошибка в стационаре в клинике Трезвый Выбор Рязань
Лечение в клинике «Трезвый Выбор Рязань» проходит в несколько последовательных этапов. Каждый этап выполняет конкретную задачу и сопровождается наблюдением специалистов. В таблице ниже представлена структура терапии и её основные направления.
Узнать больше - <a href=https://narkologicheskaya-clinika-v-ryazani17.ru/>наркологическая клиника клиника помощь рязань</a>
Justinpindy (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 05:08
Permalien
Вывод из запоя в стационаре в наркологической клинике Вектор Жиз
Сначала короткий осмотр и проверка совместимостей, затем — инфузионная терапия с мониторингом давления/пульса/сатурации, после — инструктаж семьи и назначение контрольного контакта. Такой порядок снижает тревогу и делает ночь предсказуемой: понятно, чего ждать, когда отдыхать и в какой момент связываться с врачом.
Подробнее можно узнать тут - http://vyvod-iz-zapoya-sergiev-posad8.ru/vyvod-iz-zapoya-klinika-v-sergi...
mebeltrading.ru-sw8 (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 06:04
Permalien
прокат мебели
<a href="https://mebeltrading.ru">мебель в аренду на долгий срок в москве</a> Прокат на месяцы мебели в Москве. Гибкая система скидок для продолжительной аренды.
Robertsmump (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 06:48
Permalien
Публикация с обширными данными
Эта публикация завернет вас в вихрь увлекательного контента, сбрасывая стереотипы и открывая двери к новым идеям. Каждый абзац станет для вас открытием, полным ярких примеров и впечатляющих достижений. Подготовьтесь быть вовлеченными и удивленными каждый раз, когда продолжите читать.
Лови подробности - https://fiscus.mx/2022/09/23/hola-mundo
Kennethneups (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 06:49
Permalien
Увлекательное исследование с полезной информацией
Эта статья предлагает уникальную подборку занимательных фактов и необычных историй, которые вы, возможно, не знали. Мы постараемся вдохновить ваше воображение и разнообразить ваш кругозор, погружая вас в мир, полный интересных открытий. Читайте и открывайте для себя новое!
Информация доступна здесь - https://www.agderleague.no/events/mia-ddal-the-wild-sheep-chase
RussellKnize (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 06:55
Permalien
Публикация с обширными и интересными данными
В данной статье вы найдете комплексный подход к изучению насущных тем. Мы комбинируем теоретические сведения с практическими советами, чтобы читатель мог не только понять проблему, но и найти пути её решения.
Открыть полностью - https://localgirlforeignland.com/2016/10/28/leeds-castle-england/comment...
RobertJar (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 07:01
Permalien
Постоянный виртуальный номер – доступная связь для всех
Привет всем!
виртуальный номер навсегда — это навсегда ваша свобода. Используйте виртуальный номер навсегда, чтобы защитить свою личность. Быстро, удобно и без лишних документов — виртуальный номер навсегда. Выбирайте сервис, где виртуальный номер навсегда доступен за пару кликов.
Полная информация по ссылке - https://funtura.com.ua/poradi/orenda-nomeru-telefonu-svoboda-komunikatsi...
купить виртуальный номер навсегда, купить постоянный виртуальный номер, купить виртуальный номер
купить виртуальный номер для смс навсегда, купить номер телефона навсегда, купить виртуальный номер навсегда
Всего наилучшего и комфорта в общении!!
Orlandotop (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 07:04
Permalien
Информативный текст с интригующими аспектами
Публикация приглашает вас исследовать неизведанное — от древних тайн до современных достижений науки. Вы узнаете, как случайные находки превращались в революции, а смелые мысли — в новые эры человеческого прогресса.
Практические советы ждут тебя - https://www.autourdustyle.com/etre-baroudeur-et-style
Michaelacurl (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 07:09
Permalien
Информативный текст с полезной информацией
Публикация предлагает уникальную подборку информации, которая будет интересна как специалистам, так и широкому кругу читателей. Здесь вы найдете ответы на часто задаваемые вопросы и полезные инсайты для дальнейшего применения.
Ознакомиться с полной информацией - https://blog.zwh233.top/index.php/archives/23/?replyTo=5548
Angelaluck (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 08:17
Permalien
1xbet
<a href="https://laver.listbb.ru/viewtopic.php?t=4859">https://laver.listbb.ru/vi...
mebeltrading.ru-lr4 (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 08:35
Permalien
аренда мебели недорого
<a href="https://mebeltrading.ru">https://mebeltrading.ru</a> Прокат LED мебели для ночных событий. Светящиеся барные стойки в аренду.
Angelaluck (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 08:39
Permalien
1xbet
<a href="https://angelladydety.getbb.ru/viewtopic.php?t=63463">https://angelladyd...
Michaelitera (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 08:45
Permalien
rutorforum24x7.to
Lying down and vomiting between courses: This is how Ancient Romans would feast
<a href=https://rutorcoolfldlmrpalkmfklw3nyzad6b6fycdtof3xbnixkerr47udyd.com>rut...
Imagine, if you will, the most glorious festive feast, with an oversize turkey, stuffing two ways, holiday ham, the requisite fixings and at least half a dozen pies and cakes. That may all sound grand — that is, until you consider the extravagant displays of the ancient Roman banquet.
Members of the Roman upper classes regularly indulged in lavish, hours-long feasts that served to broadcast their wealth and status in ways that eclipse our notions of a resplendent meal. “Eating was the supreme act of civilization and celebration of life,” said Alberto Jori, professor of ancient philosophy at the University of Ferrara in Italy.
https://rutor24-to.com
RuTOR forum
Ancient Romans enjoyed sweet and salty concoctions. Lagane, a rustic short pasta usually served with chickpeas, was also used to make a honey cake with fresh ricotta cheese. The Romans used garum, a pungent, salty fermented fish sauce for umami flavor in all dishes, even as a dessert topping. (For context, garum has a similar flavor profile and composition to current-day Asian fish sauces such as Vietnam’s nuoc mam and Thailand’s nam pla.) The prized condiment was made by leaving fish meat, blood and guts to ferment inside containers under the Mediterranean sun.
Game meat such as venison, wild boar, rabbit and pheasant along with seafood like raw oysters, shellfish and lobster were just some of the pricey foods that made regular appearances at the Roman banquet.
What’s more, hosts played a game of one-upmanship by serving over-the-top, exotic dishes like parrot tongue stew and stuffed dormouse. “Dormouse was a delicacy that farmers fattened up for months inside pots and then sold at markets,” Jori said. “While huge quantities of parrots were killed to have enough tongues to make fricassee.”
https://rutordeepeib6lopqoor55gfbnvh2zbsyxqpv5hnjg2qcji2x7sookqd.com
rutorsite3s7oalfxlcv5kdk6opadvkoremcoyrdm75rgips6pv33did.onion
Giorgio Franchetti, a food historian and scholar of ancient Roman history, recovered lost recipes from these repasts, which he shares in “Dining With the Ancient Romans,” written with “archaeo-cook” Cristina Conte. Together, the duo organize dining experiences at archaeological sites in Italy that give guests a taste of what eating like a Roman noble was all about. These cultural tours also delve into the eyebrow-raising rituals that accompanied these meals.
Orlandotop (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 08:58
Permalien
Публикация с истинами и интересующими аспектами
Мы предлагаем вам подробное руководство, основанное на проверенных источниках и реальных примерах. Каждая часть публикации направлена на то, чтобы помочь вам разобраться в сложных вопросах и применить знания на практике.
Изучить вопрос глубже - https://www.hotel1908.com/hello-world
RussellKnize (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:02
Permalien
Обзорная статья с интригующими фактами
В данной статье вы найдете комплексный подход к изучению насущных тем. Мы комбинируем теоретические сведения с практическими советами, чтобы читатель мог не только понять проблему, но и найти пути её решения.
Только для своих - https://angalitza.com/zjh-819-llmdatahub-a-quick-guide-especially-for
Michaeltaugs (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:10
Permalien
Клиника Северный Медлайн. Вывод из запоя на дому
Если при предзвонке выявляются «красные флаги» — одышка, давящая боль в груди, выраженная дезориентация, неукротимая рвота — координатор сразу резервирует место под наблюдение и организует перевод без пауз. В остальных ситуациях маршрут стартует дома с «мостиком» в стационар на случай изменения динамики.
Углубиться в тему - <a href=https://vyvod-iz-zapoya-murmansk15.ru/>вывод из запоя недорого в мурманске</a>
MatthewLab (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:11
Permalien
Статья с познавательной информацией
Этот информационный обзор станет отличным путеводителем по актуальным темам, объединяющим важные факты и мнения экспертов. Мы исследуем ключевые идеи и представляем их в доступной форме для более глубокого понимания. Читайте, чтобы оставаться в курсе событий!
https://a-i-gr.com/pf/total-support
Michaelacurl (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:21
Permalien
Увлекательная заметка с уникальными наблюдениями
В этом интересном тексте собраны обширные сведения, которые помогут вам понять различные аспекты обсуждаемой темы. Мы разбираем детали и факты, делая акцент на важности каждого элемента. Не упустите возможность расширить свои знания и взглянуть на мир по-новому!
Не упусти шанс - https://blog.zwh233.top/index.php/archives/23/?replyTo=5981
Timothynethy (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:22
Permalien
Статья с познавательными аспектами
Статья знакомит с важнейшими моментами, которые сформировали наше общество. От великих изобретений до культурных переворотов — вы узнаете, как прошлое влияет на наше мышление, технологии и образ жизни.
Не упусти шанс - https://implantologia-albania.com/implantologia-a-carico-immediato-all-o...
PeterCes (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:23
Permalien
Обзорная статья с интригующими фактами
Эта статья предлагает уникальную подборку занимательных фактов и необычных историй, которые вы, возможно, не знали. Мы постараемся вдохновить ваше воображение и разнообразить ваш кругозор, погружая вас в мир, полный интересных открытий. Читайте и открывайте для себя новое!
Изучить материалы по теме - https://textbuffet.com/parvati-and-shiva-the-worlds-first-ideal-love-mar...
DichaelMex (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:28
Permalien
Lhanewouro
This is really interesting, You are an overly professional blogger. I've joined your rss feed and stay up for searching for extra of your magnificent post. Also, I've shared your web site in my social networks
<a href=https://wisenet-viewer.com/>wisenet viewer</a>
HerbertFaura (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:32
Permalien
Увлекательный текст с интригующими деталями
Публикация предлагает читателю не просто информацию, а инструменты для анализа и саморазвития. Мы стимулируем критическое мышление, предлагая различные точки зрения и призывая к самостоятельному поиску решений.
Это ещё не всё… - http://jibtypecrane.ru/category/11
Raymondwox (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:37
Permalien
Информативный текст с актуальными данными
В этой статье вы найдете уникальные исторические пересечения с научными открытиями. Каждый абзац — это шаг к пониманию того, как наука и события прошлого создают основу для технологического будущего.
Хочешь знать всё? - https://blog.zwh233.top/index.php/archives/23/?replyTo=5237
Robertsmump (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:38
Permalien
Обзорная заметка с занимательными данными
В этой статье вы найдете познавательную и занимательную информацию, которая поможет вам лучше понять мир вокруг. Мы собрали интересные данные, которые вдохновляют на размышления и побуждают к действиям. Открывайте новую информацию и получайте удовольствие от чтения!
Раскрыть тему полностью - https://www.knowledgequran.com/understanding-taharah-in-islam
Eddiedat (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 09:59
Permalien
Увлекательный материал с полезной информацией
Этот информативный текст отличается привлекательным содержанием и актуальными данными. Мы предлагаем читателям взглянуть на привычные вещи под новым углом, предоставляя интересный и доступный материал. Получите удовольствие от чтения и расширьте кругозор!
Не пропусти важное - https://wanepghana.org/october-weekly-highlight-for-the-last-two-weeks
Raymondwox (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 10:08
Permalien
Публикация с увлекательной информацией
Эта познавательная публикация погружает вас в море интересного контента, который быстро захватит ваше внимание. Мы рассмотрим важные аспекты темы и предоставим вам уникальные Insights и полезные сведения для дальнейшего изучения.
Подробная информация доступна по запросу - https://blog.zwh233.top/index.php/archives/23/?replyTo=3317
EarnestGop (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 10:13
Permalien
DichaelMex
The other day, while I was at work, my cousin stole my iphone and tested to see if it can survive a twenty five foot drop, just so she can be a youtube sensation. My apple ipad is now destroyed and she has 83 views. I know this is totally off topic but I had to share it with someone!
<a href=https://admanager-plus.com/>admanager plus</a>
fixtrout (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 10:40
Permalien
Обзоры
Что выбрать: традиционный банковский вклад или его альтернативу? Давайте разберемся.
Для тех, кто ищет информацию по теме "Эффективное управление финансами: советы и обзоры", нашел много полезного.
Вот, можете почитать:
<a href=https://budgetmedia.ru>https://budgetmedia.ru</a>
Всегда обращайте внимание на новые возможности на финансовом рынке.
DichaelMex (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 10:49
Permalien
Lhanewouro
Aw, this was an incredibly nice post. Spending some time and actual effort to make a good article… but what can I say… I put things off a whole lot and don't seem to get nearly anything done.
<a href=https://globalprotect-download.com/>palo alto globalprotect download</a>
Lhanewouro (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 11:09
Permalien
DichaelMex
Hey I know this is off topic but I was wondering if you knew of any widgets I could add to my blog that automatically tweet my newest twitter updates. I've been looking for a plug-in like this for quite some time and was hoping maybe you would have some experience with something like this. Please let me know if you run into anything. I truly enjoy reading your blog and I look forward to your new updates.
<a href=https://citrix-secure-access.com/>citrix secure access</a>
MichaelAbast (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 11:19
Permalien
Интересный текст с актуальной информацией
Эта информационная статья содержит полезные факты, советы и рекомендации, которые помогут вам быть в курсе последних тенденций и изменений в выбранной области. Материал составлен так, чтобы быть полезным и понятным каждому.
Смотри, что ещё есть - https://alornoticias.com.mx/noticias/presentan-libro-distimia-oda-al-rec...
mebeltrading.ru-mq2 (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 11:21
Permalien
аренда мебели
<a href="https://mebeltrading.ru">долгосрочная аренда мебели</a> Прокат на длительный период с существенными скидками. Снижение стоимости при долгом использовании.
GichardVop (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 11:42
Permalien
LewisGAW
I savor, lead to I discovered just what I used to be taking a look for. You have ended my four day lengthy hunt! God Bless you man. Have a great day. Bye
<a href=https://watchguard-vpn.com/>watchguard vpn download</a>
RobertJar (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 12:01
Permalien
Купить виртуальный номер для смс навсегда — решение для бизнеса
Добрый день!
Виртуальный номер навсегда нужен каждому, кто ценит безопасность. Наш сервис даёт возможность получить виртуальный номер навсегда за минуту. Мы предлагаем надёжный виртуальный номер навсегда для всех нужд. Простой интерфейс позволяет легко подключить виртуальный номер навсегда.
Полная информация по ссылке - https://sesia.com.ua/osvita-za-kordonom/orenda-virtualnogo-nomera-vid-ho...
Купить виртуальный номер телефона навсегда, купить виртуальный номер навсегда, купить виртуальный номер
купить виртуальный номер навсегда, купить виртуальный номер, купить постоянный виртуальный номер
Всего наилучшего и комфорта в общении!!
Ismaelwes (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 12:02
Permalien
Lhanewouro
Pretty! This has been an incredibly wonderful post. Thanks for supplying this information.
<a href=https://qfinder-pro.com/>Qfinder Pro</a>
HerbertFaura (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 12:34
Permalien
Информационная статья
В этой публикации мы предлагаем подробные объяснения по актуальным вопросам, чтобы помочь читателям глубже понять их. Четкость и структурированность материала сделают его удобным для усвоения и применения в повседневной жизни.
Что скрывают от вас? - https://asociatiacasabuna.ro/watch-pr-watchdog-advocacy-transparenta-cor...
OLanewouro (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 12:39
Permalien
GichardVop
I'm not sure why but this web site is loading extremely slow for me. Is anyone else having this problem or is it a issue on my end? I'll check back later and see if the problem still exists.
<a href=https://fortinet-vpn.com/>fortinet vpn</a>
Diplomi_viKn (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 12:44
Permalien
Дипломы
купить диплом о высшем техническом образовании цена <a href=http://www.r-diploma20.ru>купить диплом о высшем техническом образовании цена</a> .
Thomassoins (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 12:55
Permalien
Значимый обзор с актуальными данными
В этой статье вы найдете уникальные исторические пересечения с научными открытиями. Каждый абзац — это шаг к пониманию того, как наука и события прошлого создают основу для технологического будущего.
Дополнительно читайте здесь - https://www.artisteplasticien.fr/toutes-mes-actualites-anterieures-artis...
LewisGAW (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 13:01
Permalien
Lhanewouro
Howdy! Do you use Twitter? I'd like to follow you if that would be okay. I'm definitely enjoying your blog and look forward to new posts.
<a href=https://forticlient-for-mac.com/>forticlient mac</a>
DavidRes (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 13:26
Permalien
Сетевой маркетинг в России как получить первые бонусы за неделю.
Как Открыть и главное раскрутить интернет магазин и масштабироваться в бизнесе, дома сидя на диване в своем городе
? Я знаю очень много примеров, когда соцсети не помогали бизнесу масштабироваться и увеличивать продажи. И хотя вроде бы люди всё делали правильно, достойных результатов не было.
? Меня это сначала обескураживало: “Как так? Что происходит?” Пока я не понял одной элементарной вещи.
? Как привлечь внимание к себе в соц.сетях?
? Как получать десятки входящих заявок?
? Как привлекать в команду осознанных людей, а не "уснушек" и "сетевых бабочек"?
» <a href=>https://multi-level-marketing.ru</a>/
» <a href=>https://t.me/s/siberian_wellnass_rf</a>
? Продажи — это искусство аргументации и правильного действия.
? Также это способность правильно пользоватся нужными инструментами.
? Хотите улучшить свои навыки коммуникации, которые помогут вам профессионально расти и добиваться успеха в жизни?
? На основе собственного опыта и опыта успешных предпринимателей мы разработали пошаговый план изменений, которые необходимо внести в свою жизнь, чтобы достичь финансового успеха.
mebeltrading.ru-kd6 (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 14:16
Permalien
прокат мебели
<a href="https://mebeltrading.ru">мебель в аренду в москве</a> Временное снабжение в Москве на нужный период. Лояльные тарифы и простой заказ.
Diplomi_vwPr (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 14:18
Permalien
Дипломы
купить аттестат срочно <a href=www.r-diploma21.ru>www.r-diploma21.ru</a> .
GloriahaX (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 14:23
Permalien
Одежда j699j
Я думаю, что Вы ошибаетесь. Пишите мне в PM, поговорим.
Набедренник выглядел как полотнище размером от 4 до 9-ти локтей (2-4,5 метра), <a href=http://www.affair.co.kr/bbs/board.php?bo_table=free&wr_id=354400>http://... нередко отороченное бахромой. В. Т. Олейника. - М.: Изд.
Michaelitera (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 15:30
Permalien
rutor.dev
Lying down and vomiting between courses: This is how Ancient Romans would feast
<a href=https://rutordeepeib6lopqoor55gfbnvh2zbsyxqpv5hnjg2qcji2x7sookqd.com>rut...
Imagine, if you will, the most glorious festive feast, with an oversize turkey, stuffing two ways, holiday ham, the requisite fixings and at least half a dozen pies and cakes. That may all sound grand — that is, until you consider the extravagant displays of the ancient Roman banquet.
Members of the Roman upper classes regularly indulged in lavish, hours-long feasts that served to broadcast their wealth and status in ways that eclipse our notions of a resplendent meal. “Eating was the supreme act of civilization and celebration of life,” said Alberto Jori, professor of ancient philosophy at the University of Ferrara in Italy.
https://rutorcoolfldlmrpalkmfklw3nyzad6b6fycdtof3xbnixkerr47udyd.com
rutordeepeib6lopqoor55gfbnvh2zbsyxqpv5hnjg2qcji2x7sookqd onion
Ancient Romans enjoyed sweet and salty concoctions. Lagane, a rustic short pasta usually served with chickpeas, was also used to make a honey cake with fresh ricotta cheese. The Romans used garum, a pungent, salty fermented fish sauce for umami flavor in all dishes, even as a dessert topping. (For context, garum has a similar flavor profile and composition to current-day Asian fish sauces such as Vietnam’s nuoc mam and Thailand’s nam pla.) The prized condiment was made by leaving fish meat, blood and guts to ferment inside containers under the Mediterranean sun.
Game meat such as venison, wild boar, rabbit and pheasant along with seafood like raw oysters, shellfish and lobster were just some of the pricey foods that made regular appearances at the Roman banquet.
What’s more, hosts played a game of one-upmanship by serving over-the-top, exotic dishes like parrot tongue stew and stuffed dormouse. “Dormouse was a delicacy that farmers fattened up for months inside pots and then sold at markets,” Jori said. “While huge quantities of parrots were killed to have enough tongues to make fricassee.”
https://rutor-8.com
rutor-24.at
Giorgio Franchetti, a food historian and scholar of ancient Roman history, recovered lost recipes from these repasts, which he shares in “Dining With the Ancient Romans,” written with “archaeo-cook” Cristina Conte. Together, the duo organize dining experiences at archaeological sites in Italy that give guests a taste of what eating like a Roman noble was all about. These cultural tours also delve into the eyebrow-raising rituals that accompanied these meals.
Michaelitera (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 15:56
Permalien
rutor24
Lying down and vomiting between courses: This is how Ancient Romans would feast
<a href=https://rutor24x7to.top>rutorforum24x7.to</a>
Imagine, if you will, the most glorious festive feast, with an oversize turkey, stuffing two ways, holiday ham, the requisite fixings and at least half a dozen pies and cakes. That may all sound grand — that is, until you consider the extravagant displays of the ancient Roman banquet.
Members of the Roman upper classes regularly indulged in lavish, hours-long feasts that served to broadcast their wealth and status in ways that eclipse our notions of a resplendent meal. “Eating was the supreme act of civilization and celebration of life,” said Alberto Jori, professor of ancient philosophy at the University of Ferrara in Italy.
https://rutor24x7to.top
rutordark63xripv2a3skfrgjonvr3rqawcdpj2zcbw3sigkn6l3xpad.onion
Ancient Romans enjoyed sweet and salty concoctions. Lagane, a rustic short pasta usually served with chickpeas, was also used to make a honey cake with fresh ricotta cheese. The Romans used garum, a pungent, salty fermented fish sauce for umami flavor in all dishes, even as a dessert topping. (For context, garum has a similar flavor profile and composition to current-day Asian fish sauces such as Vietnam’s nuoc mam and Thailand’s nam pla.) The prized condiment was made by leaving fish meat, blood and guts to ferment inside containers under the Mediterranean sun.
Game meat such as venison, wild boar, rabbit and pheasant along with seafood like raw oysters, shellfish and lobster were just some of the pricey foods that made regular appearances at the Roman banquet.
What’s more, hosts played a game of one-upmanship by serving over-the-top, exotic dishes like parrot tongue stew and stuffed dormouse. “Dormouse was a delicacy that farmers fattened up for months inside pots and then sold at markets,” Jori said. “While huge quantities of parrots were killed to have enough tongues to make fricassee.”
https://rutor24-to.com
rutorcoolfldlmrpalkmfklw3nyzad6b6fycdtof3xbnixkerr47udyd.onion
Giorgio Franchetti, a food historian and scholar of ancient Roman history, recovered lost recipes from these repasts, which he shares in “Dining With the Ancient Romans,” written with “archaeo-cook” Cristina Conte. Together, the duo organize dining experiences at archaeological sites in Italy that give guests a taste of what eating like a Roman noble was all about. These cultural tours also delve into the eyebrow-raising rituals that accompanied these meals.
Bruceacela (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 16:04
Permalien
Наркологическая клиника Северный Медлайн. Вывод из запоя анонимн
Карта — это общий язык для всех участников процесса. Пациент видит смысл каждого шага, родные знают, когда и чему посвящены короткие апдейты, а врач точно понимает, какой параметр корректировать, чтобы не потерять причинно-следственную связь.
Выяснить больше - <a href=https://vyvod-iz-zapoya-murmansk15.ru/>вывод из запоя на дому</a>
JeffreyLem (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 16:19
Permalien
Ошибка цена в клинике ВоронежМедЦентр
Каждый метод «привязан» к решаемой задаче. Если динамика «плоская», мы не усиливаем всё сразу: корректируем один параметр (скорость инфузии, последовательность шагов, длительность вечерних вставок) и повторно оцениваем результат в оговорённое время. Такая бережная настройка снижает риск побочных эффектов и сохраняет ясность днём.
Детальнее - <a href=https://narkologicheskaya-klinika-voronezh15.ru/>наркологическая клиника наркологический центр воронеж</a>
Quentinemaix (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 16:28
Permalien
Наркологическая клиника СеверКар Медикус. Вывод из запоя анонимн
Петрозаводск добавляет нюансы: влажные сумерки, ветер от Онежского озера, «звонкие» подъезды старого фонда. Поэтому бригада «СеверКар Медикус» приезжает в гражданской одежде, быстро и без лишних фраз. Координатор заранее уточняет код домофона, парковку, «окна связи» для близких; рекомендует приглушить верхний свет, подготовить воду комнатной температуры и свободный доступ к розетке. Такой «тихий сценарий» снижает сенсорную нагрузку, сглаживает пульсовые «пики» к вечеру и помогает заснуть без избыточной фармакологии.
Получить дополнительные сведения - https://vyvod-iz-zapoya-petrozavodsk15.ru/vyvod-iz-zapoya-na-domu-petroz...
Cedricsic (non vérifié)
ven, 12/05/2025 - 16:36
Permalien
macbook air m2 купить уфа
Полезные советы по покупке iPhone в Уфе
Приобретение iPhone — важное событие для каждого поклонника техники Apple. Но как правильно выбрать подходящую модель и надёжное место для покупки? Мы подготовили подробный гайд, который поможет вам сделать осознанный выбор и избежать ошибок.
<b>Критерии выбора iPhone</b>
<a href=https://applemarketrf.ru/catalog/iphone/iphone-17-pro/apple-iphone-17-pr...айфон 17 про уфа</a>
Выбор подходящей модели iPhone зависит от множества факторов. Наиболее значимыми среди них являются:
- Производительность: современные устройства оснащены мощными процессорами, позволяющими комфортно пользоваться любыми приложениями и играми.
- Камеры: высокое качество снимков обеспечивается продвинутыми системами камер, имеющими широкий угол обзора и режим портретной съёмки.
- Автономность: ёмкая батарея и быстрая зарядка позволят долго оставаться на связи и заряжать устройство в кратчайшие сроки.
<a href=https://applemarketrf.ru/catalog/iphone/iphone-17-pro-max/apple-iphone-1... купить</a>
Рассмотрим подробнее два популярных варианта:
- iPhone 16: представляет собой сбалансированное сочетание высоких технических характеристик и доступности.
- iPhone 17: последняя новинка от Apple, обладающая ещё большей мощностью и инновационными технологиями.
<b>Лучшие места для покупки iPhone в Уфе</b>
<a href=https://applemarketrf.ru/catalog/iphone/iphone-17-pro-max/apple-iphone-1... iPhone 17 Pro Max уфа</a>
Правильный выбор места покупки является залогом успешного опыта владения устройством. Ниже приведены несколько вариантов, которые зарекомендовали себя как надежные поставщики оригинальной продукции:
- Официальные дилеры Apple: обеспечат полную защиту прав потребителей и предложат дополнительную гарантию.
- Крупные сетевые магазины: благодаря широкому ассортименту и специальным акциям покупатели получают дополнительные бонусы и скидки.
- Онлайн-платформы: удобные способы оплаты и доставка прямо домой делают покупку комфортной и быстрой.
Независимо от того, какое место вы выберете, убедитесь, что продавец имеет хорошую репутацию и готов предложить полное сопровождение вашей покупки.
<b>Несколько советов покупателю iPhone в Уфе</b>
<a href=https://applemarketrf.ru/catalog/iphone/iphone-17-pro/apple-iphone-17-pr...купить iphone уфа</a>
Вот несколько полезных рекомендаций, которые помогут вам сделать удачную покупку:
- Проверьте целостность упаковки и комплектацию.
- Изучите отзывы реальных владельцев выбранных вами моделей.
- Оцените удобство интерфейса и приложения заранее.
- Удостоверьтесь в наличии официальной гарантии.
Итак, выбрав подходящую модель и надежное место покупки, вы сможете насладиться всеми преимуществами владения iPhone.
айфон 17 про макс уфа
https://applemarketrf.ru
Pages
Ajouter un commentaire