Chapitre 2 : Équations et Inéquations du 1er degré à une inconnue pré-requis - 3eme

1. Équations du type : $ax+b=0$ dans $Q$

2. Inéquations du type :$ax+b\leq 0$ dans $Q$

3. Intervalles dans $Q$ : intersection et réunion

4. Représentation graphique sur une droite de l'ensemble des solutions d'une inéquation.

5. Conditions pour qu'un produit soit nul.

6. Factorisation et Développement.
7. Valeur absolue - Distance.

Compétences exigibles

$\bullet\ $Résoudre dans $\mathbb{R}$ des équations des types :

$|ax+b|=c$ et $|ax+b|=|cx+d|$

$\bullet\ $Résoudre dans $\mathbb{R}$ des équations se ramenant au type : $ax^{2}+b=0$

$\bullet\ $Résoudre dans $\mathbb{R}$ des inéquations du type : $(ax+b)(cx+d)\leq 0$

$\bullet\ $Résoudre dans $\mathbb{R}$ des inéquations se ramenant au type : $ax^{2}+b\leq 0$

$\bullet\ $Résoudre des problèmes en utilisant les équations et inéquations ci-dessus.

$\bullet\ $Vérifier qu'un nombre est solution ou non d'une équation, d'une inéquation

NB Il vous est souhaitable de connaître les différents de $\mathbb{R}$ et de pouvoir traduire des  inégalités en intervalles.

Le tableau suivant vous donne la liste des intervalles de $\mathbb{R}$ ?

Il vous est souhaitable de les comprendre et de les mémoriser

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Intervalles dans }\mathbb{R}&&\\ \hline\text{écrire }&\text{intervalle }&\text{ensemble }\\ &&\text{des réels }x\\&&\text{tels que}\\\hline[a\ ;\ b]&\text{fermé }a\;,b&a\leq x\leq b\\ \hline [a\ ;\ b[&\text{fermé en }a\text{, ouvert en }b&a\leq x<b\\ \hline]a\ ;\ b]&\text{ouvert en }a\text{, fermé en }b&a<x\leq b\\ \hline ]a\ ;\ b[&\text{ouvert }a\;,b&a<x<b\\ \hline ]-\infty\;,b]&\text{des nombres inférieurs }&x\leq b\\ &\text{ou égaux à}b&\\ \hline ]-\infty\;,b[&\text{des nombred strictement }&x<b\\
&\text{inférieurs à}b&\\ \hline [a\;,+\infty[&\text{des nombres supérieurs }&a\leq x\\&\text{ou égaux à }a&\\ \hline ]a\;,+\infty[&\text{des nombres strictement }&a<x\\ &\text{supérieurs à}a&\\ \hline ]-\infty\;,+\infty[&\text{de tous les réels}&\\ \hline \end{array}$

Rappels

Exercice

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(x+3)(x-2)=0$

J'applique la propriété :

Si $AB=0$ alors $A=0$ ou $B=0$

$x+3=0$ ou $x-2=0$

Soit : $x=-3$ ou $x=2$

Les solutions de l'équation donnée sont : $-3$ et $2$

On peut écrire aussi : $S-3\ ;\ 2$

$|a|=\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&\text{ si }a\text{ est positf}\\ -a&\text{ si }a\text{ est négatif}
\end{array}\right.$

Remarque importante : une valeur absolue n'est jamais négative

Résultats à retenir

$|A|=|B|$ si et seulement si $A-B$ ou $A=-B$

$|A|-C$ ; avec $C\succ 0$ signifie $|A|=|C|$ et on se ramène au cas précédent

1. $|ax+b|-c$

Si $c=0$, on a $ax-b=0$ ; si $a\neq 0$ on a $x=-\dfrac{b}{a}$

Si $c<0$, l'équation n'a pas de solution

Si $c>0$, l'équation est équivalente à $ax+b=c$ ou $ax+b=-c$

$a\neq 0$ ; $x=\dfrac{c-b}{a}$ ou $x=\dfrac{-c-b}{a}$

2. $ax+b=|cx+d|$ ssi $ax+b=cx+d$ ou $ax+b=-cx-a$ et on poursuit la résolution

3. $a\neq 0$, $ax^{2}+b=0$, on $x^{2}=-\dfrac{b}{a}$

Si $-\dfrac{b}{a}<0$, l'équation n'a de solution et si $-\dfrac{b}{a}\geq 0$, l'équation admettra des solutions

Application

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes

a. $|2x-3|=0$ ;

b. $|-3x+1|=1$ ;

c. $|2x+5|=4$

Solution

a. $|2x-3|=0$ ssi $2x-3=0$, $x=\dfrac{3}{2}$ ; $S=\dfrac{3}{2}$

b. $|-3x+1|=-1$, impossible $S=\theta$

c. $|2x+5|=4$ ssi $2x+5=4$ ou $2x+5=-4$ on trouve $x=-\dfrac{1}{2}$ ou $x=-\dfrac{9}{2}$

$S=-\dfrac{1}{2}\;,-\dfrac{9}{2}$

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $|2x-1|=|x+4|$

Solution

$|2x-1|=|x+4|$ équivaut à :

$2x-1=x+4$ ou $2x-1=-x-4$

Soit : $x=5$ ou $x=-1$ donc $S=-1\ ;\ 5$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $4x^{2}=9$

Solution

$4x^{2}-9=0$ soit $(2x)^{2}-3^{2}=0$

Soit $(2x-3)(2x+3)=0$

Donc $2x-3=0$ ou $2x+3=0$

On a$x=\dfrac{3}{2}$ $x=-\dfrac{3}{2}$ $S=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}$

On pouvait aussi procéder ainsi : $4x^{2}=9$ ssi $x^{2}=\dfrac{9}{4}$ équivaut à : $x=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{9}{4}}=-\dfrac{3}{2}$

Les solutions de cette équation sont : $\dfrac{3}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$

On peut écrire aussi $S=\dfrac{3}{2}\ ;\ -\dfrac{3}{2}$

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $3x^{2}+7=0$

Solution

je transpose $(+7)$ puis je divise chaque membre par $3$ et j'obtiens :

$x^{2}=-\dfrac{7}{3}$ égalité impossible car dans $\mathbb{R}$ un carré n'est jamais négatif

L'équation $3x^{2}+7=0$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$

On écrit : $S=\theta$

Méthode

Pour résoudre une équation se ramenant à une équation produit on peut :

1 - Transposer (en général) tous les termes dans le $1°$ membre pour avoir $0$ dans le $2°$

2 - Factoriser le $1er$ membre

3 - Utiliser la propriété : “Un produit est nul" équivaut à "Au moins un de ses facteurs est nul” c'est-à-dire: $AB=0$  équivaut à $A=0$ ou $B=0$

4 - Écrire l'ensemble $S$ des solutions

Remarque

Pour certaines équations, on développe puis on réduit avant d'appliquer la méthode.