Chapitre 6 : Application affines, applications affines par intervalles pre-requis -3eme

Application linéaire, vecteur, équations.

 Compétences exigibles

 $\bullet\ $Déterminer l'expression littérale d'une application affine connaissant :

$-\ $les images de deux réels
       
$-\ $le coefficient de l'application affine et l'image d'un réel par cette application.

$\bullet\ $Utiliser l'expression littérale d'une application affine pour :

$\bullet\ $calculer des images ou des antécédents
    
$\bullet\ $établir des tableaux de valeurs.

$\bullet\ $Représenter graphiquement une application affine dans un repère orthonormal.

$\bullet\ $Utiliser la représentation graphique d'une application affine pour déterminer une image ou un antécédent

$\bullet\ $Tracer la représentation graphique d'une application affine par intervalles du type :

$x\rightarrow|ax+b|$

Définition

Soit $a$ et $b$ deux réels donnés.
 
On appelle application affine $f$ de coefficient $a$ et de terme constant $b$ la correspondance qui à chaque réel $x$  associe le nombre réel $ax+b.$

On dit que l'application affine est définie par : $f(x)=ax+b$

NB Si $F\left(x_{0}\right)=y_{0}$ alors on dit que $y_{0}$ est l'image de $x_{0}$ par $f$ ou $x_{0}$ est l'antécédent de $y_{0}$

Exemple

$f(x)=-x+3$ ; $g(x)=2x$ ; $h(x)=5$

Exercice 1

On donne $f(x)=2x-1$

Calculer $f(0)$, $f\left(\sqrt{2}\right)$, $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$

Solution

$f(0)=2\times 0-1=0-1=-1$ ; $f\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-1$ ; $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\times\dfrac{1}{2}-1=1-1=0$

Exercice 2

1. Déterminer l'application affine  telle que

2. Calculer l'antécédent de $3$

Solution

1. L'application $f$ est de la forme : $f(x)=ax+b$

$\begin{array}{rcl} f(1)=a\times 1+b&=&\\ a+b&=&-1 \end{array}$ et

$f(3)=3a+b=1$

$a$ et $b$ sont solutions du système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b&=&=-1\\ 3a+b&=&1 \end{array}\right.$

On trouve $a=1$ et $b=-2$ et $f(x)=x-2$

2. Soit $x_{0}$ l'antécédent de $3$, on a $f\left(x_{0}\right)=3$ soit $x_{0}-2=3$ donc $x_{0}=2+3=5$

5. est l'antécédent de $3$

Activité

On donne l'application affine $f(x)=2x+1$

1. Complète le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&1.5&-1&-2&-0.5\\ \hline f(x)&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

2. Place les points de coordonnées $(x\;,f(x))$ dans un repère orthonormal

3. Que constates tu ?

4. Que peux-tu déduire de cette représentation graphique ?

2. Représentation graphique

La représentation graphique d'une application affine définie par $f(x)=ax+b$ est la droite ayant pour équation $y=ax+b$

a. est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite d'équation $y=ax+b$

b. est appelé l'ordonnée à l'origine.

Remarques

Si $x=0$ alors $y=b$

La représentation graphique de $f$ passe par le point de coordonnées $(0\ ;\ b)$ ;

Cas particuliers

$-\ $La représentation graphique d'une application linéaire est une droite qui passe par l'origine et par le point de coordonnées $(1\;,a)$
 
Le vecteur de coordonnées $(1\;,a)$ est un vecteur directeur de cette droite.

$\text{(voir figure} 1)$

$-\ $La représentation graphique d'une application constante est une droite qui est parallèle à l'axe des abscisses. $\text{(voir figure }2)$

Attention : Une droite parallèle à l'axe des ordonnées n'est pas la représentation graphique d'une application affine.

Exemple d'application affine par intervalle

Représente graphiquement l'application affine définie par :

Si $x\leq -1$ alors $f(x)=x+3$

Si $-1<x\leq x1$ alors $f(x)=-2x+4$

Si $1<x$ alors $f(x)=-2x+4$

Pour représenter graphiquement $f$ on peut procéder de la manière suivante :

Sur $]-\infty\;,-1] f(x)=x+3$

on sait que la représentation graphique de

$f(x)=x+3$ est une droite; comme $x\leq -1$ alors la représentation graphique de $f$ est ici une demi-droite

Il suffit alors de connaître $2$ points.

Pour $x=-1$ : on a alors le point  $A(-1\;,2)$

on choisit un autre point :
pour $x=-3$ on a le point $E(-3\;,0)$

La représentation graphique est la demi droite fermée d'origine $A$ contenant le point $E$

$-\ $Sur $]-1\;,1]f(x)=2$

On a ici une application constante
Comme $-1<x\leq 1$ donc la représentation graphique est une partie de droite horizontale

Pour tracer cette droite il suffit d'avoir deux points.

On peut prendre $x=1$ : on a le point $B(1\;,2)$

On choisit un autre point $x=0$ on a $C=(0\;,2)$

La représentation graphique est le "segment" $]AB]$ ouvert en $A$ et fermé en $B$ contenant $C$

$-\ $Sur $]1\;,+\infty]f(x)=-2x+4$

On a encore une partie de droite.
On peut prendre $x=2$ : on a le point $D(2\;,0)$

On choisit un autre point $x=3$ on a $F(3\;,-2)$

La représentation graphique est la demi-droite ouverte en $B$ contenant les points $D$ et $F.$

Remarque : La représentation graphique d'une application affine par intervalles est constituée de segments de droites ou de demi-droites.

Exercices d'entraînement

Exercice 1

Déterminer les applications affines $f$, $g$ et $h$ telles que

$f(-1)=1$ et $f(-3)=-1$ ; $g(0)=4$ et $g(1)=-3$ $h()=2$ et $h(1)=1$

Exercice 2

1. $f$ est l'application affine définie par :

$f\ :\ x>-3x$

a. Calculer les images par $f$ de : $-$ ; $0$ ; $1$ ; $-2$

b. Calcule le nombre qui a pour image $-$ par $f$

2. Soit $f$ une application affine telle que : $f(x)=x\sqrt{2}+3$

a. Calculer $f(1)$ ; $f\left(\sqrt{2}\right)$ ; $f\left(-\sqrt{2}\right)$ ; $f\left(\sqrt{50}\right)$

b. Calculer les nombres qui ont pour images $3$ ; $4$ et $3$  $-\sqrt{2}$

Exercice 3

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$, le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} -a+b&=&3\\2a+b&=&-3
\end{array}\right.$

a. Déterminer l'expression littérale de l'application affine $f$ vérifiant $$f(-1)=3$ et $f(2)=-3$

b. Déterminer l'antécédent de $I$ par $f$

Exercice 4

On considère les expressions suivantes :

$H(x)=4\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}-4\sqrt{3}\left(x+\sqrt{3}\right)+3$, $G(x)=\left(2x+\sqrt{3}\right)^{2}$

1. Développer, réduire et ordonner $H(x)$ et $G(x)$

2. En déduire une factorisation de $H(x)$

3. On pose $Q(x)=\sqrt{H(x)}$

a. Résoudre l'équation $Q(x)=3\sqrt{3}$

b. Dans un repère orthonormal $\left(O\;,I\;,J\right)$, représenter $Q$

Exercice 5

1. On pose $A=2x-3$

Calculer $A$

En déduire une factorisation de

$g(x)=4x^{2}-12x+8$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}g(x)=0$ puis $g(x)\leq 0$

3. Le prix à payer pour un trajet en taxi comprend une prise en charge et une somme proportionnelle au nombre de $km$ parcourus.

Ali a payé $500\,F$ pour un trajet de $4\,km$ ; Pape a payé $725\,f$ pour un trajet de $8.5\,km$

a. Déterminer le prix du km et la prise en charge.

b. Déterminer l'application qui définit la somme à payer en fonction du nombre de $km$ parcourus.

c. Représenter graphiquement une telle application.

d. Déterminer graphiquement le prix à payer pour $10\,km$*