Repérage - 3ème

PRE-REQUIS

Repères

Vecteurs (programme de quatrième), produit d'un vecteur par un réel, somme de deux vecteurs.

Condition vectorielle d'alignement de trois points.

Parallélisme et orthogonalité de droites.

Théorème de Pythagore

Compétences exigibles

Calculer les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal.

Calculer les coordonnées du vecteur somme de deux vecteurs.

Reconnaître, à l'aide de leurs coordonnées dans  un repère orthonormal, le vecteur nul, deux vecteurs égaux, deux vecteurs opposés.

Calculer les coordonnées du vecteur produit d'un vecteur par un réel.

Montrer à l'aide de leurs coordonnées que deux vecteurs sont :

$-\ $Colinéaires.

$-\ $Orthogonaux.

Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées.

Donner une équation générale d'une droite connaissant les coordonnées de deux de ses points.

Reconnaître l'équation d'une droite parallèle à l'axe des abscisses, à l'axe des ordonnées.

Déterminer l'équation réduite d'une droite.

Passer de l'équation réduite à l'équation générale si possible et inversement.

Donner une équation générale d'une droite connaissant les coordonnées d'un point et son coefficient directeur.

Représenter une droite dans un repère orthonormal à partir :

$-\ $de deux de ses points,

$-\ $d'un point et de son coefficient directeur,

$-\ $d'un point et d'un vecteur directeur ou d'une équation.

Donner une équation générale d'une droite connaissant :

$-\ $les coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur

$-\ $les coordonnées d'un point et le coefficient directeur de la droite.
 
Reconnaître deux droites parallèles, perpendiculaires à partir de :

$-\ $leurs équations réduites,

$-\ $leurs coefficients directeurs,

$-\ $leurs vecteurs directeurs.

I. Coordonnées d'un vecteur

1. Définition

Considérons un repère orthonormal $\left(O\;,I\;,J\right)$

Étant donné $2$ points $A\left(x_{A}\;,y_{A}\right)$ et $B\left(x_{B}\;,y_{B}\right)$ et un vecteur non nul $u=\overrightarrow{AB}$

$-\ $l'abscisse de $\overrightarrow{AB}$ est le nombre $x_{B}-x_{A}$

$-\ $l'ordonnée de est le nombre $y_{B}-y_{A}$

$x_{B}-x_{A}$ et $y_{B}-y_{A}$ sont coordonnées de $\overrightarrow{AB}$

On note : $\overrightarrow{AB}\left(x_{B}-x_{A}-y_{B}-y_{A}\right)$

Remarques

$U(x\;,y)$ équivaut à $U=x\overrightarrow{OI}+y\overrightarrow{OJ}$

2. Propriétés

a. Vecteurs égaux :

Soient deux vecteur $U(x\;,y)$ et $U' \left(x'\;,y'\right)$ dans un repère orthonormal $(O\;,I\;,J)$ :

$U=U'$ équivaut à $\left(x=x'\text{ et }y=y\right)$

b. Somme de deux vecteurs : Soient deux vecteurs $U(x\;,y)$ et $U'\left(x'\;,y'\right)$

on a $U+U'=\left(x+x'\;,Y+Y'\right)$

c. Vecteur nul :

Le vecteur nul $0$ a pour cordonnée $(0\;,0)$

d. Vecteurs opposés :

Dans un repère $(O\;,I\;,O)$, deux vecteurs sont opposés si et seulement si leurs abscisses et leurs ordonnées sont opposées.

Soient $u(x\;,y)$ et $v \left(x'\;,y'\right)$, $u=-v$ ssi $x=x'$ et $y=-y'$

e. Produit d'un vecteur par un réel :

Étant donné un vecteur  $u(a\;,b)$ et un nombre $k.$

Les coordonnées de $k u$ sont $(ka\;,kb)$

Exemple : prenons $k=2$

f. vecteurs colinéaire : (propriété admise)

Soient deux vecteurs $u(x\;,y)$ et $u'\left(x'\;,y'\right)$ $u$ et $u'$ sont colinéaires équivaut à : $xy'-x'y=0$

g.Vecteurs orthogonaux (propriété admise) :

Soient $\left(O\;,I\;,J\right)$ un repère orthonormal ; deux vecteurs $u(x\;,y)$ et 

$u'$ sont orthogonaux équivaut à $xx'+yy'=0$

II. Distance de deux points

Considérons un repère orthonormal $(O\;,I\;,J)$

Calcul de la distance

Dans un repère orthonormal si $A$ et $B$ ont respectivement pour coordonnées $\left(x_{A}\;,y_{B}\right)$ et $\left(x_{B}\;,y_{B}\right)$

alors on a

$AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}$

III. Équation et représentation d'une droite

1. droites parallèle aux axes :

Propriété : dans un repère $(O\;,I\;,J)$

si une droite $(D)$ est parallèle à l'axe des ordonnées, alors il existe un nombre a tel que pour tout point $M(x\;,y)$ :

$M$ appartient à $(D)$ équivaut à $x=a$

$(D)$ a pour équation $x=a$

Si une droite $(D)$ est parallèle à l'axe des abscisses, alors il existe un nombre $b$ tel que pour tout point$M(x\;,y)$ :

$M$ appartient à $(D)$  équivaut à $y=b$
$(D)$ a pour équation $y=b$

2. Équation générale :

Dans un repère $(O\;,I\;,j)$, un point $M(x\;,y)$ appartient à une droite $(D)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation du type $ax+by+c=0$ avec $a$, $b$, $c$ étant des réels.

Ce type d'équation est appelé équation générale de $(D)$

3. Équation réduite ; coefficient directeur
Si $b\neq 0$, l'équation de $(D)$ peut se mettre sous la forme $y=mx+p$

C'est l'équation réduite de $(D)$

Le réel $m$ est appelé coefficient directeur de la droite $(D)$ et $p$ l'ordonnée à l'origine

4. Vecteur directeur :

Définition

Étant donné une droite $(D)$ :

Pour tous points distincts $A$ et $B$ de $(D)$, le vecteur $AB$ est un vecteur directeur de $(D)$
Remarques :

$-\ $Si l'équation de $(D)$ s'écrit sous la forme : $ax+by+c=0$, alors $v-(b\;,a)$ est un vecteur directeur de $(D)$

$-\ $Si l'équation réduite de $(D)$ s'écrit sous la forme $y=mx+p$, alors $v(1\;,m)$ est un vecteur directeur de $(D)$

méthode

Pour construire la droite $(D)\ :\ y=ax+b$

$-\ $je choisis deux valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$

$-\ $je détermine les coordonnées $\left(x_{1}\;,ax_{1}+b\right)$ et $\left(x_{2}\;,ax_{2}+b\right)$ deux points de $(D)$

$-\ $je place les deux points correspondants.

$-\ D$ est la droite passant par ces deux points.

Exemple : $(D)\ :\ y=-x+3$

pour $x=0$, $y=3$

pour $x=1$, $y=2$

Méthode de construction de droite
a. Construire une droite connaissant un point et un vecteur directeur

Pour construire une droite $(D)$ passant par un point $M_{0}$ et dont un vecteur directeur est :

$-\ $je place le point $M_{0}$

$-\ $je construis le point $M$ tel que $\overrightarrow{M_{0}M}=u$

$-\ (D)$est la droite passant par $M_{0}$ et $M$

b. Construire une droite connaissant un point et le coefficient directeur

Pour construire une droite $(D)$ de coefficient directeur a, passant par un point $M_{0}$ :

$-\ $je place le point $M_{0}$

$-\ $je construis le point $M$ tel que  $\overrightarrow{M_{0}M}(1\;,a)$

$-\ D$ est la droite passant par $M_{0}$ et $M$

5. Droites parallèles ; droites perpendiculaires
Propriétés :

a. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

b. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

c. Considérons deux droites quelconques $(D)$ et $(\left(D'\right)$ de coefficients directeurs $a$ et $a'$ :

si $(D)(D')$ alors 

$a=a'$

Si $a=a'$ alors $(D)$ $\left(D'\right)$

Si $(D)\perp\left(D'\right)$ alors $aa'=-1$

Si $aa'=-1$ alors $(D)\perp\left(D'\right)$

Application

Exercice 1

On considère un repère orthonormal $(O\;,I\;,J)$ Soient $A(1\;,1)$ et $B(-1\;,-3)$
 
1. Donnez une équation générale de la droite $(D)$ passant par $A$ et $B$

2. En déduire l'équation réduite de cette droite

3. Calculer la distance $AB$

4. Donner une équation générale de la droite $\left(D'\right)$ de vecteur directeur  et $u(-2\;,1)$ passant par

5. Montrer que les droites $(D)$ et $\left(D'\right)$ sont perpendiculaires

6. Représenter les deux droites $(D)$ et $\left(D'\right)$ dans le repère orthonormal $(O\;,I\;,J)$

Solution

1. La droite passant par $A$ et $B$ $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(D)$

$\overrightarrow{AB}(-1-1\;,-3-1)$, $\overrightarrow{AB}(-2\;,-4)$

$M(x\;,y)$ appartient à $(D)$ ssi $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires $\overrightarrow{AM}(x-1\;,y-1)$

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaire ssi $-2x(y-1)-(-4)(x-1)-0$ soit $-2y+2+4-4=0$

Après simplification on obtient $(D)$ : $(2x-y-1=0$

2. l'équation réduite de la droite $(D)$ est : $y=2x-1$

3. $AB=\sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

4. Si $M(x\;,y)$ appartient à $\left(D'\right)$ alors les vecteurs $u$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires

$\overrightarrow{CM}(x-2\;,y-1)$ et $u(-2\;,1)$ colinéaires ssi $-2\times(y-1)-1\times(x-2)=0$ On obtient $\left(D'\right)$ : $x+2y-4=0$

5. L'équation réduite de $\left(D'\right)$ est :  $y=-\dfrac{x}{2}+2$

Or l'équation réduite de $(D)$ est $y=2x-1$

Le coefficient de $(D)$ est $2$ et celui de $\left(D'\right)$ est  On a :

Ainsi les deux droites $(D)$ et $\left(D'\right)$ sont perpendiculaires

6. Représentation graphiques des deux droites

Exercice 2

1. Dans un repère orthonormal $(O\;,I\;,J)$, place les points:

$A(2\;,1)$, $B(1\;,-2)$, $C(-3\;,3)$ et $D(-1\;,-1)$

2. On considère le vecteur $U(2\;,-1)$ Calcule les coordonnées des points $A'$, $B'$$, $C'$ et $D'$

tels que $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=U$

Placer est quatre points dans le repère orthonormal $(O\;,I\;,J)$

Solution

1. $A(2\;,1)$, $B(1\;,-2)$, $C(-3\;,3)$ et $D(-1\;,-1)$

2. On a : $U(2\;,-1)$

Coordonnées de $A'$ : posons $(x\;,y)$ le couple de coordonnée de $A'$

Si $\overrightarrow{AA'}=U$ alors $x-x_{A}=2$ et $y-y_{A}=-1$ donc $x-2=2$et $y-1=-1$ d'où $x=0$

Par conséquent $A'(4\;,0)$

Coordonnées de $B'$ : posons $(x\;,y$ le couple de coordonnées de $B'$

Si $\overrightarrow{BB'}=U$ alors $x-x_{B}=2$ et $y-y_{B}=-1$ donc $x-1=2$ et $y+2=-1$ d'où $x=3$ et $y=-3$

Par conséquence $B'(3\;,-3)$

Coordonnées de $C'$ : posons $'(x\;,y)$ le couple de coordonnées de $C'$

Si $\overrightarrow{CC'}=U$ alors $x-x_{c}=2$ et $y-y_{c}=-1$ donc $x+3=2$ et $y-3=-1$ d'où $x=-1$ et $y=2$

Par conséquent $C'(1\;,-2)$

Coordonnées de $D'$ : posons $(x\;,y)$ le couple de coordonnées de $D'$

Si $\overrightarrow{DD'}=U$ or $x-x_{D}=2$ et $y-y_{D}=-1$ donc $x+1=2$ et $y+1=-1$ d'où $x=1$ et $y=-2$

Par conséquence $D'(1\;,-2)$

Remarque $D'=B$

Exercice 3

Le plan est muni du repère orthonormal $(O\;,I\,J)$

On donne : $A(4\;,-6)$, $B\;,8)$, $C(0\;,-2)$ et $D(3\;,5)$

1. Démontre que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires

2. Les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils colinéaires ?

Solution

1. $\overrightarrow{AB}(x\;,y)$ et $\overrightarrow{CD}\left(x'\;,y'\right)$ sont colinéaire si et seulement si $xy'-x'y=0$

Or $xy'-x'y=\left(6\times 7\right)-\left(3\times 14\right)=0$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

2. $\overrightarrow{BD}=(-7\;,-3)$ et $\overrightarrow{CD}(3\;,7)$ or $(-7\times 7)-(-3\times 3)=-28\neq 0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires