Révisions sur le calcul algébrique

I. égalités remarquables

Quels que soient les nombres réels $a$ et $b$ on :

$(a+b)^{2}=a^{2}-2ab-b^{2}$ ;

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab-b^{2}$ ;

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Attention : Il ne faut pas oublier le double produit $2ab$ dans le développement de $(a+b)^{2}$ et $(a-b)^{2}$ C'est une erreur très grave

Dans $\mathbb{R}$ on ne peut pas factoriser $a^{2}+b^{2}$ et $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Ces égalités remarquables servent à factoriser ou développer des expressions littérales

Application

Exercice 1 :

Factoriser les expressions suivantes :

a. $A x^{3}-x$ ; $B x^{1}-x^{2}$ ; $C 4x^{2}-9+(x+1)(2x-3)$ ; $D x^{2}+10x+25+4x(x-5)$

b. On donne l'expression $E=(3x-1)^{2}+(1-3x)(x+4)$

b1. Développer $F$

b2. Factoriser $F$

Solution

(On essaie de faire apparaître pour $A$ et $B$ la différence de deux carrés, pour cela , il suffit de factoriser par un facteur convenable)

a. $A=x\left(x^{2}-1\right)=x(x-1)(x+1)$ ; $B=x^{2}(x-1)(x+1)$ ;

$C=(2x-3)(2x-3)+(x-1)(2x-3)-(2x-3)[(2x+3)+(x+1)]$

$C=(2x+3)(2x+3+x+1)=(2x-3)(3x+4)$

$D=(x+5)^{2}+4x(x+5)=(x+5)(x+5+4x)=(x+5)(5x+5)=5(x+5)(x+1)$

b. $E=(3x-1)^{2}+(1-3x)(x+4)$

b1. $E=9x^{2}-6x+1+x+4-3x^{2}-12x 6x^{2}-17x+5$

$E=(1-3x)^{2}+(1-3x)(x+4)=(1-3x)[C(1+3x)-(x+4)]=(1-3x)(5-2x)$

Ici on a utilisé le fait que $(3x-1)^{2}=(1-3x)^{2}$ On ne pouvait aussi procéder comme suit :

b2. $E=(3x-1)(2x-5)=(1-3x)(5-2x)$

Attention : Un exemple d'erreur très fréquente chez les élèves

Factoriser $F=\left(16x^{2}-25)\right)+x(4x+5)+(4x+5)$

Certains ont tendance à procéder ainsi :

$F=(4x-5)(4x+5)+x(4x+5)+(4x+5)=(4x+5[(4x-5)+x+0]$

$F=(4x+5)(5x-5)$ ; Ce qui est faut.

En lieu et place de $0$, on doit mettre $1$

La solution juste est :

$F=(4x+5)[(4x-5)+x+1]=(4x+5)(5x-4)$

En effet $(4x+5)=(4x+5)\times 1$

Exercice 2

Calculer mentalement

$31^{2}$ ; $29^{2}$ ; $95^{2}$ ; $19\times 21$

Solution : On utilise les égalités remarquables

$31^{2}-29^{2}=(31-29)(31+29)=2\times 60=120$

$95^{2}=(100-5)^{2}=10000-1000+25=9025$

$19\times 21-(20+1)-20^{2}-1-400-1-399$

Exercice d'entraînement

Factoriser les expressions suivantes :

$3t-t(t+2)$ ; $y^{2}+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{16}$ ; $27x^{2}-12$ ; $(3x+1)^{2}-(x-5)^{2}$ ; $16x^{4}-16x^{3}+4x^{2}$ ; $xy+x+y+1$ ; $9x^{2}+6x+1-5x(3x+1)+3x^{3}+x^{2}$

NB

Ces révisions sur le calcul algébrique de la classe de $4^{eme}$ constituent des pré-requis pour certains thèmes de la classe de  $3^{eme}$

Il vous est donc indispensable  de maîtriser ces quelques rappels  pour mieux affronter le programme de $3^{eme}$