Chapitre 5 : Les vecteurs - 3ème

Pré- requis

Caractérisation vectorielle du parallélogramme. Propriétés de la translation. Propriété de Thalès.

Compétences exigibles

Construire le vecteur somme de deux vecteurs donnés.

Connaître et utiliser la relation de Chasles.

Connaître et utiliser les propriétés de l'addition des vecteurs

Connaître et utiliser les propriétés de la multiplication d'un vecteur par un réel.

Utiliser une égalité vectorielle pour démontrer :

$-\ $la colinéarité de vecteurs

$-\ $le parallélisme de droites

$-\ $l'alignement de points

1. Théorème et définition

Soit deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}.$

Pour tout point du plan, si $C$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$

Le vecteur $\vec{w}=\overrightarrow{AC}$ est le vecteur somme de $\vec{u}$ et $\vec{v}$

On note $w=u+v$

NB : Pour obtenir $w=u+v$, il suffit de trouver trois points $A$, $B$ et $C$ tels que :

$u=\overrightarrow{AB}$ et $v=\overrightarrow{BC}$

2. Relation de chasles

Des points $A$, $B$ et $C$ étant donnés on a :  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Cette égalité traduit la relation de Chasles

3. Propriété de l'addition vectorielle

a. Commutativité :

On a toujours l'égalité vectorielle :

$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$

Configuration :

La configuration du parallélogramme illustre la commutativité de l'addition vectorielle.

$\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\vec{v}+\vec{u}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$

b. Associativité

Propriété

On a toujours $\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=w=\vec{u}+\left(\vec{v}+w\right)$

NB : La commutativité et l'associativité font que pour effectuer une addition de plusieurs vecteurs, je peux changer l'ordre des termes et les regrouper à ma convenance.

Exemple

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{CH}&=&\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AS}\\&=&\left(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA}\right)+\overrightarrow{AS}\\&=&\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AS}\\&=&\overrightarrow{CS} \end{array}$

c. Le vecteur nul

Par définition, le vecteur nul est le vecteur de longueur nulle.

Il est noté , et ce symbole se lit "vecteur nul" .

Pour tous les points $M$ du plan, on a :

$\overrightarrow{MM}=\overrightarrow{O}$
 
Le vecteur nul n'a ni direction, ni sens.

La translation de vecteur nul ne déplace aucun point du plan.

On a toujours : $t_{0}(M)=M$

4. Vecteurs opposés

Deux vecteur opposés sont deux vecteurs qui ont la même direction, des sens contraires et la même longueur.

Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul.

Ainsi : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{O}$

Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l'opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$

On note : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ et $\vec{u}+\left(-\vec{v}\right)=\vec{u}-\vec{v}$

Remarques importantes

$-\ $Autre formulation de la relation de Chasles

Soient $A$, $B$, $C$ trois poins quelques du plan.

On a avec la relation de Chasles :

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}&=&\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{AC}\right)\\&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\\&=&\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\\&=&\overrightarrow{CB} \end{array}$

D'où l'autre formulation de la relation de Chasles exprimant un vecteur comme différence de deux vecteurs de même origine.

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

$-\ $Milieu d'un segment

$I$ est le milieu du segment $[AB]$ équivaut à :

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{O}$ ou encore à : $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$

5. Définition

S $K>0$, $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ signifie que $\overrightarrow{AC}$ a la même direction que $\overrightarrow{AB}$, le même sens que $\overrightarrow{AB}$ et

pour longueur $AC=KAB$

Si $k<0$, $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ signifie que $\overrightarrow{AC}$ a la même direction que $\overrightarrow{AB}$, le sens contraire de $\overrightarrow{AB}$ et pour longueur $AC=(-k)AB$

Si $k=0$, $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ signifie que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{O}$

premières propriétés

$1.\vec{u}=\vec{u}$

$\begin{array}{rcl} a\left(\vec{u}+\vec{v}\right)&=&a\vec{u}+a\vec{v}\\ (a+b)\vec{u}&=&a\vec{u}+b\vec{u}\\
a\left(b\vec{u}\right)&=&(ab)\vec{u} \end{array}$

Remarque : Si $k\vec{u}=\vec{0}$, alors $k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$

6. Vecteurs de même direction

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même direction lorsque qu'il existe un nombre réel $k$ non nul tel que $\vec{u}k\vec{v}$

Remarque : Le vecteur nul n'a pas de direction.

7. vecteur colinéaires

a. Définition

On dit que deux vecteurs  et  sont colinéaires s'ils sont tous deux de même direction ou si l'un d'eux est nul.

Remarque : Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

b.  Utilisation de la colinéarité

i. Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés

équivaut à

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

ii. Soient $I$ et $J$ deux points distincts

$M$ appartient à la droite $(IJ)$ si et seulement les vecteurs $\overrightarrow{IM}$ et $IJ$ sont colinéaires.

iii. Soient quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ tels que $A\neq B$ et $C\neq D$

Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles
équivaut  à les vecteurs  et  sont colinéaires.

Exercices d'application

Exercice 1

$L$, $O$ $U$ sont trois points non alignés du plan. $S$ est le milieu du segment $[OU]$

1. Construire le points $I$ tel que : $\overrightarrow{LI}=\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}$

2. Démontrer que $\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}=2\,LS$

Solution

1. L'égalité vectorielle $\overrightarrow{LI}=\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}$ où   les deux vecteurs, de la somme ont la même origine $L$ permet d'utiliser la configuration du parallélogramme pour construire le point $I$

$\overrightarrow{LI}=\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}$ traduit que $LOIU$ est un parallélogramme.

2 .Pour montrer que $\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}=2\overrightarrow{LS}$, il suffit de montrer que $\overrightarrow{LI}=2\overrightarrow{LS}$

Ce qui revient à montrer que $S$ est le milieu du segment $[LI]$

Pour cela, on utilise la propriété du parallélogramme qui dit : « les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu ».

Dans le parallélogramme $LOIU$, $S$ est le milieu de $[OU]$

Donc S est le milieu de $[LI]$

Par suite $\overrightarrow{LI}=2\overrightarrow{LS}$

Comme $\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}=\overrightarrow{LI}$ et $\overrightarrow{LI}=2\overrightarrow{LS}$ on peut conclure que $\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}=2\overrightarrow{LS}$

Exercice 2

Soient $Q$, $U$, $A$ et $D$ quatre points quelconques du plan.

On note $P$, $R$, $L$ et $G$ les milieux respectifs de $[QU]$, $[UA]$, $[AD]$ et $[DO]$

1. Construis la figure.

2. Détermine la nature du quadrilatère $PRLG$

Solution

La figure permet de conjecturer que $PRLG$ est un parallélogramme.

Un chaînage arrière conduit à démontrer par exemple que $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{GL}$

On utilise le théorème des milieux sous sa forme vectorielle deux fois.

Dans le triangle $QUA$, $P$ est le milieu de $[UQ]$ et $R$ est le milieu de $[UA]$

Donc $\overrightarrow{PR}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{QA}(1)$

Dans le triangle $QAD$, $G$ est le milieu de $[DQ]$ et $L$ est le milieu de $[DA]$

Donc $\overrightarrow{GL}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{QA}(2)$

$(1)$ et $(2)$ entraînent que : $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{GL}$

Donc $PRLG$ est un parallélogramme.

Exercice 3

Soit $O$, $A$, $B$ trois points distincts non alignés

1.Construis les points $C$, $D$ et $E$ tels que :

$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=AO+\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}$

2  Vérifie que les points $C$, $O$, $D$ sont alignés, ainsi que $E$, $B$, $D$ et $C$, $A$, $E$

3. Précise la position des points $O$, $B$ et $A$

Solution

1. On utilise la configuration du parallélogramme pour

Construire les points $C$, $D$ et $E$

$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ traduit que $ABOC$ est un parallélogramme.

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}$ traduit que $AODB$ est un parallélogramme.

$\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}$ traduit que $BOAE$ est un parallélogramme

2. Du parallélogramme $ABOC$, on tire $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AC}$

Du parallélogramme $AODB$, on tire $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DB}$

Du parallélogramme $BOAF$, on tire $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{EA}$

$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BA}$   et $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{BA}$ entraînent que $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DO}$

Donc $C$, $O$ et $D$ sont alignés.

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DB}$   et $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BE}$ entraînent que $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BE}$ Donc $E$, $B$ et $D$ sont alignés.

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DB}$  et $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BE}$  entraînent que $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BE}$. Donc $C$, $A$ et $E$ sont alignés.

3. L'égalité $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DO}$  donne $O$ milieu de $[CD]$

L'égalité $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BE}$ donne $B$ milieu de  $[DE]$

L'égalité $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EA}$  donne $A$ milieu de $[CE]$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle et $B'$ et $C'$ les points définis par : $\overrightarrow{AB'}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC'}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

Démontre que les droites $(BC)$ et $\left(B'C'\right)$ sont parallèles.

f

Indication : A l'aide d'une demi-droite arbitraire d'origine $A$, on utilise le théorème de Thalès pour construire les points $B'$ et $C'$