Concours Général Sénégalais - Terminale

Épreuve mathématiques 

Problème 1

A tout couple de nombre réels $(\eta\;,\lambda)$, on associe le nombre réel $\Gamma^{\eta}_{\delta}(\eta\;,\lambda)$ définie par :
$$\Gamma_{\delta}^{\eta}(\eta\;,\lambda)=\int_{0}^{\mu_{\eta}}\left[\mathrm{e}^{x+\delta}-\eta\mathrm{e}^{\delta}\sin x-\lambda\mathrm{e}^{\delta}(1+\cos x\right]^{2}dx$$ ; où

$\blacktriangleright \delta$ est un entier naturel non nul, solution de l'équation $\delta^{362}\equiv[367]$,

$\blacktriangleright$ La suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ est définie par :

$u_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{\pi}{3\times(14)^{86}}E\left(\pi+\dfrac{k}{n}\right)$, 

$\left(E\left(\pi+\dfrac{k}{n}\right)\text{ désigne la partie entière de }\left(\pi+\dfrac{k}{n}\right)\right)$

On désigne par $\mathbb{H}$ l'ensemble des valeurs possibles de $\delta.$

L'objectif de ce problème est de trouver le triplet $\left(\delta\ ;\ \mu\;,\lambda\right)\in\mathbb{H}\times\mathbb{R}^{2}$ qui minimise $\Gamma_{\delta}^{\pi_{0}}\left(\eta\;,\lambda\right)$ où $n_{0}=\overline{834E0}^{16}\times 14^{91}$

L'entier $n_{0}$ est appelé la clé $FF$

Partie A

1. Soit $\rho$ un nombre premier tel que $\rho=4k+3\left(k\in\mathbb{N}\right)$ et $\delta$ un entier naturel vérifiant $\delta^{p-5}\equiv 1[p]$

a. Montrer que $\delta$ et $\rho$ sont premiers entre eux.

b. Montrer que $\delta^{\rho -1}\equiv 1[p]$

c.i. Montrer que $2+(k-1)(p-1)=k(p-5)$

ii. En déduire que $\lambda^{2}\equiv 1[p]$

d. Montrer alors que $\delta=pl+1$ ou $\lambda=pl-1$ avec $l\in\mathbb{N}^{\ast}$

e. Déduire de ce qui précède l'ensemble $\mathbb{H}$ des solutions dans $\mathbb{N}^{\ast}$ de l'équation $\delta^{362}\equiv[367]$

f. Déterminer alors le plus petit élément de $\mathbb{H}$

2. Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit la fonction $y_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par :
$$y_{n}(x)\sum_{ k=0}^{n-1}E\left(x+\dfrac{k}{n}\right)-E(nx)$$

a. Montrer que la fonction $y_{n}$ est $\dfrac{1}{n}$ périodique

b.1. En déduire que la fonction $y_{n}$ est nulle sur $\mathbb{R}$

ii. Montrer alors que : $\forall \geq 1\;,u_{n}=\dfrac{\pi}{3\times(14)^{86}}E(n\pi)$

c.i Montrer que pour entier naturel non nul $n$, $E(n\pi)=3n$

ii. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ est arithmétique de raison à préciser.

3.a. Montrer que la clé $FF$ est $n_{0}=14^{86}$

b. Montrer alors que $u_{n_{o}}=\pi$

Partie B :

On désigne par $E$ l'ensemble des fonctions numériques définie et contenues sur $[O\;,\pi]$

On définit deux opérations notées $\oplus$ et $\ast$ de la manière suivante :

$\blacktriangleright\forall(f\;,g)\in E^{2}\;,\forall \lambda\in\mathbb{R}\;,\forall x\in\left[0\;,\pi\right]\;,\left(f\oplus g\right)(x)=f(x)+g(x).$

$\blacktriangleright\forall f(f\;,g)\in E\;,\forall\lambda\in\mathbb{R}\;,\forall x\in[0\;,\pi]\;,\left(\ast f\right)(x)=\lambda f(x)$

On dit que $\oplus$ est une loi de composition interne dans $E$ et $\ast$ une loi de composition externe sur $E.$

1. Vérifier que les propriétés suivantes sont vraies.

$P_{1}$ : $\forall(f\;,g)\in E^{2}\;, f\oplus g=g\oplus f\;,$

$P_{2}$ : $\forall(f\;,g\;,h)\in E^{2}\;,f\oplus\left(g\oplus g\right)=\left(f\oplus g\right)\oplus h$

$P_{3}$ : Il existe un élément de $E$ noté $O_{E}$ tel que : $\forall f\in E\;,\oplus O_{E}=f\;,$

$P_{4}$ : $\forall f\in E\;,\exists!f'\in E\text{ tel que }f\oplus f'=O_{E}.\text{ Cet élément }f'\text{ est noté }-f\;,$

$P_{5}$ : $\forall f\in E\;,1\ast f=f\;,$

$P_{6}$ : $\forall\left(\alpha\;,\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}\;,\forall f\in E\;,\alpha\ast\left(\beta\ast f\right)=\left(\alpha\beta\right)\ast f\;,$

$P_{7}$ : $\forall(f\;,g)\in E^{2}\;,\forall\alpha\in\mathbb{R}\;,\forall\ast\left(f\oplus g\right)=\left(\alpha\ast f\right)\oplus\left(\alpha\ast g\right)$

$P_{8}$ : $\forall\left(\alpha\;,\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}\;,\forall f\in E\;,\left(\alpha\;,\beta\right)\ast f=\left(\alpha\ast f\right)\oplus\left(\beta\ast f\right)$

On dit que l'ensemble $E$ muni de la loi de composition interne $\oplus$ et de la loi de composition externe $\ast$ est un $\mathbb{R}$- espace vectoriel.

Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs et le vecteur $f\oplus(-g)$ sera noté $f\ominus g.$

2. On considère l'application notée $\Psi$ définie sur $E\times E$ dans $\mathbb{R}$ par :
$$\forall(f\;,g)\in E\times E\;,\Psi(f\;,g)=\int_{0}^{\pi}f(x)g(x)dx.$$

Vérifier que $\forall(f\;,g\;,h)\in E^{3}\;,\forall\alpha\in\mathbb{R}$, on a les propriétés suivantes :

$Q_{1}\ :\ \Psi(f\;,g)=\Psi(g\;,f)$

$Q_{2}\ :\ \Psi\left(f\oplus g\;,h\right)=\Psi(f\;,h)+\Psi(g\;,h)$

$Q_{3}\ :\ \Psi\left(\alpha\ast f\;,g\right)=\Psi\left(f\;,\alpha\ast g\right)=\alpha\Psi\left(f\;,g\right)$

$Q_{4}\ :\ \Psi(f\;,f)\geq 0$,

$Q_{5}\ :\ \left(\Psi(f\;,f)=0\right)\Longleftrightarrow\left(f=O_{E}\right)$

On dit que $\Psi$ est un produit scolaire sur $E$

Deux vecteurs $f$ et $g$ tels que $Psi(f\;,g)=0$ sont dits orthogonaux.

3. On considère l'application $N$ définie sur $E$ par : $\forall f\in E\;,N(f)=\sqrt{\Psi(f\;,f)}.$

a. Montre que pour tout, $g\in E\;,\left|\Psi(f\;,g)\right|\leq N(f)N(g).$

On pourra utiliser l'expression $P(\lambda)=\Psi\left(\lambda\ast f\oplus g\;,\lambda\ast f\oplus g\right)$

b. Vérifier que $\forall\left(f\;,g\right)\in E^{2}\;,\forall\alpha\in\mathbb{R}$, on a les propriétés suivantes :

$R_{1}\ :\ N(f)\geq 0$

$R_{2}\ :\ N(f)=0\Longleftrightarrow\;,f=0_{E}$

$R_{3}\ :\ N\left(\alpha\ast f\right)=\left|\alpha\right| N(f)$

$R_{4}\ :\ N\left(f\oplus g\right)\leq N(f)+N(g)$

On dit que l'application $N$ est une norme sur $E$ ; c'est la norme issue de produit scalaire $\Psi.$

Partie C

On désigne par $F$ l'ensemble défini par :

$F={\varphi\ :\ [0\;,\pi]\rightarrow\mathbb{R}\ :\ \varphi(x)=\eta\sin(x)+\lambda(\cos(x)+1)\ ;\ (\eta\;,\lambda)\in\mathbb{R}^{2}}$

1.a. Vérifier que $F$ est une partie non vide de $E$ et qu'on a :

$\forall(f\;,g)\in F^{2}\;,\forall\left(\alpha\;,\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}(\alpha\ast f)\oplus(\beta\ast g)\in F$

On dit que $F$ est un sous espace vectoriel de $E$

b. Montrer alors que $F$ est aussi un $\mathbb{R}$- espace vectoriel.

2. On considère les fonctions $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ définie sur $[O\;,\pi]$ par : $\varphi_{1}(x)=\sin x$ et $\varphi_{2}(x)=\cos x+1.$

a. Montrer que : $\forall\varphi\in F\;,\exists!\left(\alpha\;,\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}$ tel que $\varphi=\alpha\ast\varphi_{1}\oplus\beta\ast\varphi_{2}.$

On admet si $f$ est développable en série entière, alors $f$ est indéfiniment

dérivable sue $\left]-\mathbb{R}\;,\mathbb{R}\right[$ et que pour tout $x\in\left]-\mathbb{R}\;,\mathbb{R}\right[$, on a :
$$f(x)=\sum_{+\infty}^{\pi=0}$$

Ici, $f^{(n)}$ est la dérivée d'ordre $n$ de $f$ avec $f^{(0)}=f.$

Exemple 

On admet que la fonction $\Psi$ définie sue $\mathbb{R}$ par : $\Psi(x)=\mathrm{e}^{x}$ est développable en série entière avec $\mathbb{R}=+\infty$

Donner alors l'expression du développement en série entière de $\Psi$

Partie A

I. Dans une contenant initialement $b$ boules blanche et $r$ boules rouges, on effectue des tirage successif d'une boule, en remettant après chaque tirage la boule tirée dans l'une et en y ajoutant une autre boule de même couleur que la boule tirée.

Pour tout entier naturel non nul, on note :

$\blacktriangleright B_{n}$ l'évènement : <<La $n^{ième}$ boule tirée est blanche >>

$\blacktriangleright p_{n}(b\;,r)$ la probabilité de tirer une boule blanche au $n-$ième tirage quand l'une contient initialement $b$ boules blanches et $r$ boules rouges

1. Montre que la probabilité de tirer $n$ boules blanches lors des $n$ premiers tirages est :
$$\varrho=\Pi_{k=0}^{n-1}\dfrac{b+k}{b+r+k}$$

2. On considère, pour tout entier naturel $n\left(n\geq 2\right)$, la relation de récurrence suivante :
$$P_{n}(b\;,r)=\dfrac{b}{b+r}P_{n-1}\left(b+1\;,r\right)+\dfrac{r}{b+r}P_{n-1}\left(b\;,r+1\right)(\ast)$$

Montre que la relation $(\ast)$ est vraie pour $n=2$ et $n=3$

3. On admet que la relation précédente est vraie pour tout entier $n$ supérieur ou égale à $2$

a. Montre que pour entier naturel $n\left(n\geq 2\right)$ et pour tout couple d'entiers $(b\;,r)$, on a :
$$P_{n}(b\;,r)=\dfrac{b}{b+r}$$

b. On note $\rho$ l'inverse de $P_{n}(3\;,6).$

Calculer $\rho$

II. On considère la suite $\left(U_{n}\right)_{n\geq 1}$ définie par  :

: $U_{n}=\Sigma_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{(k+1)!\rho^{k+1}}$ où $\rho $est le réel trouvé dans $A.\cdot I\cdot 3\cdot b$ et lu fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\mathrm{e}^{\dfrac{1}{3}x}$

1.a. Montre que la suite $\left(U_{2n}\right)_{n}$ est décroissante.

b. Montrer que la suite $\left(U_{2n+1}\right)_{n}$ est croissante

c. Montre que la suite $\left(V_{n}\right)_{n}$ de terme générale $V_{n}=U_{2n+1}-U_{2n}$ converge vers $0$

On dit alors que les suites $\left(U_{2n}\right)_{n}$ et $\left(U_{2n+1}\right)_{n}$ sont adjacentes.

Elles convergent donc vers la même limite.

On admettra que la suite $\left(U_{n}\right)_{n\geq 1}$ converge vers cette limite commune et on note :
$$\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}U_{n}=\lim\limits\sum_{ k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{(k+1)!\rho^{k+1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{(n+1)!\rho^{n+1}}$$

2. Montre que pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$, on a :
$h^{(n)}(x)=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n}h(x).$

3.a. En admettant que $h$ est développable en série entière avec $\mathbb{R}=+\infty$, déduire de la question précédente que pour tout réel $x$, on a :
$$h(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{3^{n}n!}x^{n}.$$

On dit alors que la famille $B=\left(\varphi_{1}\;,\varphi_{2}\right)$ est une base de $F$

b. Les éléments $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ de la base $B$ sont-ils orthogonaux ?

c. Déterminer $N\left(\varphi_{1}\right)$ et $N\left(\varphi_{2}\right)$

d. On considère les fonctions $\Psi_{1}$ et $\Psi_{2}$ définis sur $[O\;,\pi]$ par :
$$\Psi=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{\pi}\ast\varphi_{1}\text{ et }\Psi=\sqrt{\dfrac{2}{3\pi}}\ast\left(\varphi_{2}\ominus\dfrac{4}{\pi}\dfrac{4}{\pi}\varphi_{1}\right)$$

i. Montre que la famille $B'=\left(\Psi_{1}\;,\Psi_{2}\right)$ est une base de $F.$

ii. Montre que $\Psi_{1}$ et $Psi_{2}$ sont orthogonaux et que $N\left(\Psi_{1}\right)=N\left(\Psi_{2}\right)=1.$

On dit que la famille $B'=\left(\Psi_{1}\;,\Psi_{2}\right)$ est une base orthonormée de $F.$
3. Étant donné un vecteur $f$ de $E$, on associe le vecteur. 
$$f^{\sim}=\Psi\left(f\;,\Psi_{1}\right)\ast\Psi_{1}\oplus\Psi\left(f\;,\Psi_{2}\right)\ast\Psi_{2}$$

On dit que $f^{\sim}$ est le projeté orthogonal de $f$ sur $F.$

On admettra le résultat suivant : $\forall f\in E\;,\text{inf}_{g\in f}{N(f\ominus g)}=N(f\ominus f^{\sim})$

On dira que c'est la distance de $f$ à $F$ et on la note $d(f\;,F).$ On a donc :
$$forall f\in E\;,\text{inf}_{g\in f}{N(f \ominus g)}=N(f\ominus f^{\sim})$$

Soit $h$ la fonction définie sur $[0\;,\pi]$ par $h(x)=\mathrm{e}^{x}$

a.i. Montre que : $\Gamma_{\delta}^{\pi_{0}}\left(\eta\;,\lambda\right)=\mathrm{e}^{\delta}\left(N\left(h\ominus\left(\eta\ast\varphi_{1}\oplus\lambda\ast\varphi_{2}\right)\right)\right)^{2}$

ii. En admettant que

$\text{min}_{(\delta\;,\eta\;,\lambda)\in H\times\mathbb{R}^{2}}\Gamma_{\delta}^{\eta_{0}}(\eta\;,\lambda)=\text{min}_{\delta\in H}\mathrm{e}^{2\delta}\times\text{min}_{(\eta\;,\lambda)\in\mathbb{R}^{2}}\left(N\left(h\ominus\left(\eta\ast\varphi_{1}\oplus\lambda\ast\varphi_{2}\right)\right)\right)^{2}$

déduire de la question précédente que : 

$\text{min}_{(\delta\pi\lambda)\in N\times\mathbb{R}^{2}}\Gamma_{\delta}^{\eta_{0}}(\eta\;,\lambda)=\text{min}_{\delta\in H}\mathrm{e}^{2\delta}\left(N\left(h\ominus h^{\sim}\right)\right)^{2}$

b. Montre que tout réel $x$ de $[0\;,\pi]$, on  a :

$h^{\sim}(x)=\left[\dfrac{\mathrm{e}^{\pi}\left(3\pi^{2}-4\pi+16\right)+3\pi^2+12\pi+16}{3\pi^{3}}\right]\sin x+\left[\dfrac{(\pi-4)\mathrm{e}^{\pi}-(3\pi+4)}{3\pi^{2}}\right](1+\cos x).$

c. En déduire que $\Gamma_{\delta}^{\eta_{0}}(\eta\;,\lambda)$ atteint son minimum si :

$\delta=366\;,\eta=\dfrac{\mathrm{e}^{\pi}\left(3\pi^{2}-4\pi+16\right)+3\pi^{2}+12\pi+16}{3\pi^{3}}$ et

$\lambda=\dfrac{(\pi-4)\mathrm{e}^{\pi}-(3\pi+4)}{3\pi^{2}}$

d. Calculer $(N(h-h^{\simeq}))^{2}$

e. En déduire la valeur minimale de $\Gamma_{\delta}^{\eta_{0}}(\eta\;,\lambda).$

Problème 2 :

L'objet de ce problème est d'étudier l'équation différentielle suivante : $(H)\ :\ xy^{"}-2\mathrm{e}^{\dfrac{1}{3}}\ominus y'+\omega^{2}xy=0$ où $\omega$ et $\theta$ sont paramètres réel avec $\omega$ non nul.

Préliminaire 

On dit qu'une fonction numérique $f$, à valeur réelles, est développable en série entière s'il existe une suite de nombres réels $\left(\alpha_{n}\right)$ et s'il existe $\mathbb{R}$ (réel ou infini) tels que :
$$\forall x\in]-\mathbb{R}\;,\mathbb{R}[\ ;\ f(x)=\lim_{n\longrightarrow\;,+\infty}\sum_{k=0}^{n}\alpha_{k}x^{k}$$

$$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_{n}x^{n}$$