Bac blanc TS2 - 2023-2024

Exercice 1 

1.a. Rappeler les formes algébrique et trigonométrique d'un nombre complexe z non nul en indiquant le vocabulaire de chaque terme utilisé dans les écritures. 

b. Rappeler quatre propriétés d'un argument d'un nombre complexe non nul.

2. Résoudre dans $C$ l'équation du second degré : $iz^{2}+4(1-i)z-12-3i=0$

3. Le plan complexe est rapporté d'un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right)$

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $4+i$, et $1$

a) Calculer $\dfrac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}$

En déduire la nature du triangle $ABC$

b. On donne le point $D$ d'affixe $i.$

Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe du centre et le rayon. 

4) Soit $s$ la similitude directe du plan de centre $A$ et qui transforme $C$ en $B$

a. Démontrer que l'écriture complexe de s'est : $z'=(1-i)z-1+4i$
 
b. Déterminer l'angle et le rapport de $s$ 

c. En déduire l'image par $s$ du cercle de centre $A$ et de rayon $\sqrt{2}$

Exercice 2

En fin $202$, un club sportif comptait $7000$ abonnés. 

À la fin de chaque année, le club constate que $20\%$ des abonnés ne se réabonnent pas et $4000$ nouveaux abonnés arrivent.

Le stade comporte $19000$ places, et le club voudrait savoir s'il sera nécessaire de l'agrandir pour pouvoir
accueillir tous les abonnés.

On note $u_{n}$ le nombre d'abonnés à la fin de $2020+n\ ;\ n\in N$

1. Préciser $u_{0}$ puis justifier que pour tout $n_in N\;, u_{n+1}=0.8u_{n}+4000.$

2.a. Démontrer que pour tout $n\in N\;, u_{n}\leq 20000$

b. Démontrer que pour tout $n\in N\;,u_{n}\leq u_{n+1}$

c. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.

Déterminer sa limite.

3. On pose pour tout entier $n\geq 0\;, v_{n}=u_{n}-20000$

a. Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0.8$

b. Exprimer $\left(u_{n}\right)$ en fonction de $n.$

4. Le club devra-t-il agrandir son stade? 

Justifier.

Si oui, préciser quand devra être fini l'agrandissement.

Problème 

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{\ln|1-x|}{x}&\text{ si }x>0\\ -\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^{x}-2&\text{ si }\leq 0 \end{array}\right.$

On désigne par $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$ d'unité graphique : $1\,cm$ en abscisse et $4\,cm$ en ordonnée.

Partie A

Soit $g$ la fonction définie par : $g(x)=\dfrac{x}{x-1}-\ln|x-1|$

1. Dresser le tableau de variation de $g$ sur son ensemble de définition. 

2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $0$ et $\alpha$
 
Vérifier que $4.5<\alpha<4.6$

3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0\ ;\ 1[\cup]1\ ;\ +\infty$

Partie B

1. Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}{1}$

2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

3. Préciser la nature des branches infinies de la courbe $\left(\mathcal{C}\right)$

4. Étudier la continuité de $f$ en $0.$ 

5. On admet que pour tout réel 

$x<1\;,-\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}\leq\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^{2}}\leq -\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}$

a. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0.$

$\text{On utilisera }(\ast)\text{ pour la dérivabilité à droite en }0)$

b. Interpréter graphiquement les résultats. 

6. Étude des variations de $f$

a. Montrer que $\forall x<0\ :\ f'(x)>0$

b. Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$ sur $]0\ ;\ 1[\cup]1\ ;\ +\infty[$

c. Dresser le tableau de variation de $f.$

7. Montrer que $f(a)=\dfrac{1}{a-1}$

8. Déterminer, lorsqu'ils existent, les points d'intersection de $C$ avec les axes de coordonnées.

9. Construire soigneusement $\mathcal{C}.$

On prendra $\alpha=4.6$
 
10. Quelle est en $cm^{2}$, l'aire du domaine délimité par $\mathbb{C}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations
$x=-\ln2$ et $x=0$