CONCOURS INGENIEURS STATISTICIENS ECONOMIQUES CYCLE LONG/ANALISTES STATISTICIENS

Exercice 1

1. Calculer $$\int^{2}_{1}\dfrac{cos\left(lnx\right)}{x}dx$$.

2.Donner la limite en $+\infty$ de la fonction $$f(x)=\dfrac{x\sin x -\sqrt{x}}{x^{2}-1}$$.

3..Donner le comportement au voisinage de $s=1$ de la même fonction.

4..Ecrire le nombre complexe $z=2i$ sous forme trigonométrique.

5..Si on vous demande d'étudier les variations de la fonction $$f(x)=\tan(x/2)\cos(2x)$$,expliquez quel intervalle d'étude vous choisissez,et comment vous étende l'ensemble du domaine de définition de $f$.

6..Dériver la fonction définie à la question précédente.

7..Dans un jeu opposant les joueurs$A$ et $B$, on lance un dé équilibré.Si le dé tombe sur $5$ ou $6,B$ réalise un score égal au résultat du lancer.Si le dé tombe sur $1,2,3$ ou $4,A$ réalise un score égal à $k$ fois le résultat du lancer.

Quelle doit être la valeur de $k$ pour que le score soit équitable,c'est à dire pour que la différence entre les scores soit d'espérance null?

8.On considère la suite définie par $$u_{0}>0$$ et $$u_{n+1}=\sqrt{u_{0}^{2}+....+u_{n}^{2}}$$ pour $n\geq 0$.

Cette suite est-elle croissante?Est-elle convergence?

9..On considère  la suite définie par $$u_{0}=1/4$$ et $$u_{n+1}=u_{n}^{2}+1/4$$ pour $n\geq 0$.

Etudier la convergence de la suite $(u_{n})$.

10.Résoudre l'équation $x^{3}+x^{2}-4x-1=0$ dans $R$,puis dans $C$.

Exercice 2

Dans cette exercice ,on se donne un nombre réel $\alpha_{1}$, et on considère l'application $$f_{\alpha}(x)=exp(x^{\alpha}lnx)$$

1.Donner le domaine de définition de $f_{\alpha}$,et calculer sa dérivée.

2.Montrer que toutes les courbes représentatives de $f_{\alpha},\alpha\in R$,ont un point commun,que l'on déterminera.

3.Etudier la branche infinie de $f_{\alpha}$ en $+\infty$ selon les valeurs de $\alpha$.

4.Discuter,selon les valeur $\alpha$,de la limite de $f_{\alpha}$à droite de $0$.

5.Ecrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$.

6.Dresser les tableaux de variations de $f_{\alpha}$ correspondant à tous les cas que vous avez distingués aux questions précédentes.On précisera notamment les valeurs des maximums et minimums locaux de $f_{\alpha}$.

7.Représenter graphiquement sur une meme figure les courbes représentatives correspondant à ces tableaux de variations.On précisera notamment les pentes des courbes au point d'abscisse $0$.

8.Calculer $f_{-0.1}\left(10^{10}\right)$ et commenter le résultat obtenu au vu des résultat précédents.

Exercice 3

1.On considère l'application $f$ qui à tout nombre réel $x$ associe $$f(x)=x^{3}-2x-1/2$$.

(a)Calculer $f(-1),f(-1/2),f(0)$ et $f(1)$.

(b)Calculer la dérivée et dresser le tableau de variation de $f$.

(c)Déduire de ce qui précède que l'équation $f(x)=0$ admet exactement $3$ solutions qu'on placera par rapport à $-1,-1/2,0$ et $1$.

(d) Tracer la courbe représentative de $f$.

2.On considère désormais la fonction de la variable réelle $$g:x\mapsto \dfrac{\tan x}{1+2\cos x}$$.

(a)Donner le domaine de définition de $g$.

(b)Etudier la parité et la périodicité de $g$ ;en déduire l'intervalle sur lequel vous allez étudier cette fonction.

(c)Etudier les branches infinies de $g$.

(d) Calculer la dérivabilité de $g$,et exprimer $g'(x)$ en fonction de $\cos x$

(e)En vous aidant des résultats de la question $1$,montrer que $g'$ s'annule une unique fois sur l'intervalle  d'étude,en un point $x_{0}$ situé entre $\pi/2$ et $2\pi/3$.

(f)Dresser le tableau de variation de $g$.

(g)Donner l'allure de ll courbe représentative de $g$.

Exercice 4

On considère la suite $(ln)\geq 0$ définie par $$ln=\int^{0}_{1}\dfrac{1}{1+x+x^{n}}dx$$.

1.Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$.

2.Montrer que la suite $(ln)\geq 0$ est croissante.

3.Montrer que pour out $n,ln\leq \int^{0}_{1}\dfrac{1}{1+x}dx$.

4.Conclure quant à la convergence de $ln$.

5.Montrer que $ln2-l_{n}=\int^{0}_{1}\dfrac{x^{x}}{(1+x+x^{n})(1+x)}dx$

6.$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int^{0}_{1}\dfrac{x^{x}}{(1+x+x^{n})(1+x)}dx=0$ et en déduire la limite de la suite $(l_{n})\geq 0$.

Exercice 5

On considère la suite $(u_{n}n\geq 0$ définie par $$u_{0}=1$£ et £$u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+n+1}$$ pour tout $n\geq 0$.

1.(a)Montrer que $\sqrt{n}\leq u_{n}\leq\sqrt{2n}$ pour tout entier $n\geq 1$

(b)En déduire que $\dfrac{u_{n}}{\sqrt{n}}\leq \sqrt{1+\dfrac{\sqrt{2n-2}}{n}}$ et donner la limite de $u_{n}/\sqrt{n}$ quand $n\rightarrow \infty$

2.(a)Calculer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{u_{n-1}}{n}$.

(b) Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x-1}}{x}=\dfrac{1}{2}$.

(c)Déduire des questions précédentes la valeur de $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1+\dfrac{u_{n-1}}{n}-1}{\dfrac{u_{n-1}}{n}}$.

3.Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} u_{n}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{2}$.

Exercice 6

On considère l'ensemble $U$ des nombres complexes de module égal à $I$.

Soit $\alpha$ un nombre complexe $\alpha$ tel que $|\alpha|\ne 1$ .

1.Montrer que l'application $f_{\alpha}$ donnée par $f_{\alpha}(z)=\dfrac{z+\alpha}{1+\bar{\alpha}z}$ est bien définie pour tout élément $z$ de $U$.

2.Montrer que ,si $z\in U$,alors $\bar{z}=1/z$.

3.En déduire que $z\in U$,alors $f_{\alpha}(z)\in U$.

4.Réciproquement,montrer que tout élément $t$ de $U$ est l'image par $f_{\alpha}$ appartient à l'ensemble ${-1,1,i-i}$ dans chacun des cas suivants:

$(a)\alpha=2;
(b)\alpha=2i
(c)\alpha=1+i,$

Exercice 7

On joue suivant la règle suivante:on est en possession d'un pion initialement placé au point $0$ sur une régle graduée;à chaque lancer du dé,on avance de $3$ cases si le résultat est un multiple de $3$, et on recule de $2$ cases dans le cas contraire.

Le joueur ou la joueuse gagne si ,au bout de $5$ lancers, le pion est sur une case positive ou nulle.

1.Soit $X_{k}$ la variable aléatoire égale à $3$ si le résultat du $k-iéme$ lancer est un multiple de $3$,et à $-2$ sinon.

Donner la loi de $X_{k}$.

2.Pour tout entier $k$, on pose $Y_{k}=(X_{k}+2)/5$.

Donner la loi de $Y_{k}$ ainsi que la loi de la variable $S=\sum_{k=0}^{5}Y_{k}$.

3.En déduire la probabilité de gagner à ce jeu.

4.Pouvez-vous étendre votre raisonnement:

(a) au cas ou on avance de $3$ cases si le résultat de $6$,et on recule de $2$ cases dans le cas contraire?

(b)au cas ou on gagne si le pion est sur une case positive aprés $10$ lancers?Donner la probabilité de gain dans chacune de ces situations.