Bac blanc - TS2/TS2A 2024

Exercice 1

Pour chaque question, une et une seule des quatre propositions est exacte. Donner la bonne réponse. 

Barème par réponse : réponse correcte $0.5$ point, absence de réponse $0$ point.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ $A$, $B$ et $B$ sont trois points d'affixes respectives : $$Z_{A}=-2+i\ ;\ Z_{B}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\text{ et }Z_{C}=-1+i\sqrt{3}$$

1. La forme exponentielle de $Z_{C}=-1+i\sqrt{3}$ est :

a. $2\mathrm{e}^{i\dfrac{2\pi}{3}}$ ; 

b. $-\mathrm{e}^{i\sqrt{3}}$ ; 

c. $-2\mathrm{e}^{-i\dfrac{2\pi}{2}}$ ; 

d. $\sqrt{2}\mathrm{e}^{i\dfrac{7\pi}{3}}$ ; 

2. $\text{arg}\left(\dfrac{z_{B}-Z_{A}}{Z_{C}-Z_{A}}\right)$ est une mesure de l'angle :

a. $\left(\overrightarrow{AC}\;,\overrightarrow{BC}\right)$ ; 

b. $\left(\overrightarrow{CA}\;,\overrightarrow{BA}\right)$ ; 

c. $\left(\overrightarrow{AC}\;,\overrightarrow{BA}\right)$ ; 

d. $\left(\overrightarrow{BA}\;,\overrightarrow{AC}\right)$

3. L'ensemble des points $M(z)$ du plan tel que $|z+2-i|=\left|z-\dfrac{1+i}{2}\right|$ est :

a. Le cercle de centre $B$ et de rayon $1$ ; 

b. La médiatrice du segment $[BA]$

c. La droite $(BA)$ ; 

d. La droite $(AB)$ privée du point $B$

4. Une primitive de la fonction $\dfrac{\ln x}{x}$ dans l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ est :

a. $\dfrac{1}{2}\ln^{2}x$ ; 

b. $\dfrac{1+\ln x}{x^{2}}$ ; 

c. $\ln|\ln x|$ ; 

d. $\ln^{2}x$

5. $\forall\alpha\in\mathbb{R}{0}\ln\left(a^{2}\right)$ est égale à :

2. $2\ln\alpha$ ; 

b. $\left(\ln\alpha\right)$ ; 

c. $2\ln|a|$ ; 

d. $\left(\ln\alpha\right)^{2}$

Exercice 2

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\;,\vec{v}\right)$

On considère les applications : $f\ :\ z'=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}Z+\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}$ et $g\ :\ z'=-2x+3i$

On pose : $h=f°g$ et le point $\Omega(i)$

1. Déterminer la nature de chacune des deux applications $f$ et $g$ et leur éléments caractéristiques.

2. On considère le points $A(a)$ avec $\alpha$ un nombre complexe donné différent de $i$

On pose : $B=h(A)$, $C(B)$ et $D=h(C)$

a. Montre que si le point $M'\left(z'\right)$ est l'image du points $M(z)$ par l'application $h$ alors : $$z'-i=2\mathrm{e}^{i\dfrac{4\pi}{3}}(z-i)$$

b. Déterminer la nature de $h$ et ses éléments géométriques caractéristiques.

3.a. Déterminer en fonction du nombre complexes $a$, les complexes $b$, $c$ et $d$, affixes respectives de $B$, $C$ et $D$ 

b. Montre que les points $\omega$, $A$ et $D$ sont alignés.

c. Démontrer que $\omega$ est le barycentre du système pondéré ${(B\;,4)\ ;\ (C\;,2)\ ;\ (D\;,1)}$

Exercice 3

Une tour de condenseur a une hauteur $h=48\,m$, sa base est circulaire et a un rayon $\mathbb{R}.$

Son orifice supérieur à un rayon $\mathbb{R'}$

Son volume peut être considéré comme le volume du solide de révolution engendre par la rotation de la courbe de la fonction $f$, définie par $f(x)=12\times\sqrt{1+\dfrac{x^{2}}{576}}$ définie sur $[-36\ ;\ 12]$, autour de l'axe des abscisses dans le repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$, unité ; $2\,cm$

Calculons le volume de la tour

Problème :

Soit $f$ la fonction numérique définie par : 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-1}\mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}+1&\text{ si }&<0\\ f(x)=\mathrm{e}^{x}+x(-1+\ln x)&\text{ si }&>0\\
f(0)=1 \end{array}\right.$

On note $\left(C_{f}\right)$ sa courbe dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$ $(\text{unité }\ :\ 1\,cm)$

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $g(x)=\mathrm{e}^{x}+\ln x.$

1. Préciser le sens de variation de $g$ 

2. Montre que l'équation $g(x)=0$ admet dans $]0\ ;\ +\infty[$ une unique solution $\alpha$

Vérifier que $0.2<\alpha<0.3$

3. Préciser le signe de $g(x)$ suivant les valeur de $x$

1. Montre que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$

2.a. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$

b. Montrer que la droite d'équation $y=x+3$ est une asymptote oblique de $\left(C_{f}\right)$ en $-\infty$

c. Étudier la nature de la branche infinie de $\left(C_{f}\right)$ en $+\infty$

3.a. Montrer que $f$ est continue en $0$

b. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0.$

Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

4.a. Montrer que $f$ est dérivable sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et que pour tout $x\in]-\infty\ ;\ 0]\;,f'(x)=\dfrac{\left(x^{2}-3x+1\right)\mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}}{(x-1)^{2}}$

En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]-\infty\ ; 0[$

b. On admet que $f$ est dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$ puis calculer $f'(x)$

c Dresser le tableau de variation de $f$ 

5. Tracer la courbe $\left(C_{f}\right)$ dans le repère $\left(O\ ; \vec{i}\;,\vec{j}\right)$ 

6.a A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale $i=\int_{1}^{2}x\ln x dx$ 

b.En  déduire l'aire, en $cm^{2}$, du domaine limité par $\left(C_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$

7. Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]-\infty\ ;\ 0]$

a. Montrer que $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ dont dont on précisera l'intervalle de définition.

b. Tracer la courbe $\left(C_{h^{-1}}\right)$ dans le repère précédent.