A)Soient $a$, $b$ tels que $a \times b = 12,5$.
1)Quelle opération a-t-on effectuée ?
2)Que représente 12,5 pour cette opération ? ?
3)Comment appelle-t-on $a$ et $b$ ?
4)Peut-on écrire $a \times b = b \times a$ ? Justifie.
B)
1)Calcule $H = (15,4 + 2,5) + 5=.........+....=....$
$G = 15,4 + (2,5 + 5)=.........+....=....$.
Quelle propriété de l’addition découvre-t-on ?
On considère l'équation \((E): (m + 1)x^2 + 2mx + m - 5 = 0\).
1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), l'existence et le signe des racines de \((E)\). $(1~\text{pt})$
2. Déterminer \(m\) pour que \((E)\) ait deux racines \(x'\) et \(x''\) vérifiant \(-1 < x' < 1 < x''\). $(0.75~\text{pt})$
1-Écris l’ensemble $A$ des chiffres de numération décimale.
2-Écris l’ensemble $B$ des chiffres nécessaires pour écrire le nombre $164250,4135$.
3-Détermine $A \cap B$ et $A \cup B$.
4-Complète par les symboles $\in$, $\notin$, $\subset$ ou $\not\subset$ :
$4 ... ............ B$ ; $9 ... ............ B$ ; $B ... ............ A$ ; $A ... ............ B$.
5-Écris en chiffre : $164250,4135$.
6-Soit le nombre décimal $164250,4135$. Complète :
Recopie et remplace les pointillés par les mots qui conviennent
1.Si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(D)$, alors $(D)$ est la ........................ de $[AA']$.
2.L’axe de symétrie d’une figure est la droite $(D)$ telle que le ........................ de tout point de la ........................ est un point de la figure.
3.Dans un calcul en ligne, la multiplication et la division sont prioritaires sur ........................ et la .........................
ABC est un triangle du plan tel que : AB = 4cm , AC = 5cm et \(\cos ((\widehat{A})=\frac{3}{5}\).
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a. \(\sqrt{2x^{2} - 3x - 2} = 2x^{2} - 3x - 1 \) $(1~\text{pt})$
b. \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} \geq x + 3 \) $(1~\text{pt})$
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\) :
\[
(m^{2} - 1)(-2x^{2} + 3x - 1) < 0 \\ (1~\text{pt})
\]
1.a) Montrer par récurrence que pour tout $\in\mathbb{N}\;,21^{n}\equiv 1+20\,n\left(\text{mod }100\right)$
b. En déduire les deux derniers chiffres de l'entier $2021^{2021}$
On note $(E)$ l'ensemble des entiers $x\in\mathbb{Z}$ tels que pour tout $\in\mathbb{N}\;,x^{n}\equiv 1+n(x-1)(\text{mod 100})$
1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.
Compléter les propriétés sur les modules et arguments suivants :
a. $\left|2^{2}\right|=\ldots\;,n$ un entier naturel ;
c. Si $z'$ est non nul, alors $\left|\dfrac{x}{x'}\right|=\ldots$
b. $arg\left(z^{n}\right)=\ldots\;,n$ un entier naturel ;
Soit $P$ un nombre premier impair.
On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$
Exercice 1 :
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation $(E)$ :
$z^{3}-\left(1+2\mathrm{i}\right)z^{2}+3\left(1+\mathrm{i}\right)z-10\left(1+\mathrm{i}\right)=0$
1. a. Déterminer les racines carrées du complexe $Z=5-12\mathrm{i}$
b. Montrer que $(E)$ admet une solution imaginaire que l'on déterminera.
c. Déterminer $\alpha$ et $b$ tels que :