Épreuve de mathématiques
Exercice 1
Choisir la bonne réponse
1. Le taux d'accroissement d'un application $f(x)$ est :
A. $\dfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{2}-x_{1}}$
B. $\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$
C. $\dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}$
2. L'équation de la droite $(D)$ passant par $A(1\ ;\ 2)$ et $B(-1\ ;\ 3)$ est :
A. $y=x-5$ ;
B. $-x-2y+6=0$ ;
C. $-x+2y-3=0$
1. Réponds par vrai ou faux
a. Tout nombre impair est un nombre premier $\ldots\ldots\ldots$
b. Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est sécante $\ldots\ldots$
c. $1$ est multiple de tout nombre $\ldots\ldots$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
On notre $A$ le point d'affixe $I$ et $B$ le point d'affixe $3+2i$
On appelle $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ distinct de $A$ et d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'=\dfrac{z-1+2i}{z-1}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$
b. $-3\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq-x$
c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$
d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$
2. On considère le polynôme $|P|=x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1$
1. La premier sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ qui s'annule en $0$ est :
a. $F=8\sqrt{x^{2}+x}$
b. $F(x)=2-2\sqrt{x^{2}+1}$
c. $F(x)=\sqrt{x^{2}+1}-1$
2. Une écriture trigonométrique du nombre complexe $z=\left(-\sqrt{3}+l\right)^{3}$ est :
1. On considère les équations différentielles.
$(E)\ :\ y"-y'=2(x+2)\mathrm{e}^{x}$ et $\left(E_{0}\right)\ :\ y"-y'=0$
1. Déterminer $\alpha$ pour que la fonction $f$ définie par $f(x)=ax(x+2)\mathrm{e}^{x}$ soit solution de $(E)$
2. Démontrer que $g$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $g^{-}f$ est solution de $\left(E_{0}\right)$
Écris le numéro de l'énoncé puis la lettre correspondant à la bonne réponse
1. Si $\overbrace{a}$ et $\overbrace{b}$ sont deux angles complémentaires et si $\sin\overbrace{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ alors $\cos\overbrace{b}$ est égal à :
a. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
b. $\dfrac{2\sqrt{3}}{2}$
c. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
A. Pour chacune des affirmations suivantes, choisis la bonne réponse en indiquant sur ta copie le numéro de
l’affirmation et la lettre de la réponse choisie. (0.75 pt par réponse juste)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
N°& \text{Questions}& \text{Réponse A}& \text{Réponse}&\text{Réponse C}\\
\hline
1& \text{Le coefficient de l’application affine g d’expression}&&&\\
A) Soit $P$ un polynôme défini par : $P(x)= 2x^{4}-x^{3}-26x^{2}+ax+2b$
1) Déterminer les réel $a$ et $b$ pour que $1$ et $3$ soient des racines de $P$
2) On pose $a=37$ et $b=6$
a) Déterminer par la méthode de Horner le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)(x-3)Q(x)$.
b) Factoriser $Q(x)$ puis en déduire une factorisation complète de $P(x)$.
c) Résoudre dans IR :
i)$P(x)= 0; ii)P(-x+2)=0 ; iii)P(x)<0$
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées ; une seule est exacte.
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point.
Une réponse inexacte ou une absence de réponse est notée $0$ point.
Recopie sur ta copie le numéro de la question associée à la réponse choisie