Les transformations - $3eme$

PRÉ-REQUIS

Isométries vues en $6è$, $5è$ et $4è$ : translation, symétrie centrale, symétrie axiale, rotation.

Action successive de deux translations.

Compétences exigibles

Reconnaître la transformation résultant de :

$-\ $deux symétries orthogonales successives

$-\ $deux symétries centrales successives

$-\ $deux translations successives.

Définition 1

Une transformation du plan est une application du plan dans lui-même telle que :
    
$\bullet\ $Tout point du plan admet une image et une seule

$-\ $Les images de deux points distincts sont toujours deux points distincts

Exemples :la translation,la symétrie centrale,la symétrie axiale (orthogonale), la rotation
Contre-exemple la projection orthogonale n'est pas une transformation car elle ne vérifie pas la deuxième affirmation

Pour cela il suffit de considérer deux droites $(D)$ et $\left(D'\right)$ perpendiculaires, prenez deux points $A$ et $B$ de $(D).$

Soient $A'$ et $B'$ les projetés orthogonaux respectifs de $A$ et $B$

On constate $A'$ et $B'$ sont confondus

Définition 2

Une isométrie est une transformation qui conserve la distance

La translation, la symétrie centrale, la symétrie axiale (orthogonale) et  la rotation sont des isométries

1. Étude de deux symétries orthogonales successives par rapport à deux droites parallèles

Propriété :

$(D)$ et $\left(D'\right)$ étant deux droites parallèles, faire la symétrie orthogonale par rapport à $(D)$ suivie de la symétrie orthogonale par rapport à $\left(D'\right)$ revient à faire la translation de vecteur .
Configuration

2. Étude de deux symétries orthogonales successives par rapport à deux droites perpendiculaires

Propriété

$(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ étant deux droites perpendiculaires en un point $0$, faire la symétrie orthogonale par rapport à $(\Delta)$ suivie de la symétrie orthogonale par rapport à $\left(\Delta'\right)$ revient à faire la symétrie centrale de centre $0$

Configuration

3. Étude de deux symétries orthogonales successives par rapport à deux droites sécantes
Propriété

$(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ étant deux droites sécantes en $0$  formant un angle de mesure a, faire la symétrie orthogonale par rapport à $(\Delta)$  suivie de la symétrie orthogonale par rapport à $\left(\Delta'\right)$ revient à faire la rotation de centre $0$ et d'angle de mesure $2a$

Configuration

4. Étude de deux translations successives

Faire la translation de vecteur $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $\vec{u'}$ revient à faire la translation de vecteur $\vec{u}+\vec{u'}$

5°) Étude de deux symétries centrales successives

Propriété

Faire la symétrie centrale de centre $O$ suivie de la symétrie centrale $O'$ revient à faire la

translation de vecteur $2\overrightarrow{OO}$

Application

Exercice 1

Soient une droite $(D)$ et deux points $A$ et $B$ non situés sur $(D)$

$M$ étant un point quelconque de $(D)$, détermine l'ensemble des points $M'$ du plan tels que $AM=AM'$ et $M=BM'$ lorsque $M$ décrit $(D)$

Solution

Si $AM=AM'$ alors $A$ appartient à la médiatrice de $\left[MM'\right]$ ;

Si $BM=BM'$ alors $B$ appartient à la médiatrice de $\left[MM'\right]$ ;

donc la droite $(AB)$  est la médiatrice de $\left[MM'\right]$

Quel que soit le point $M$ de $(D)$, $M'$ est son symétrique par rapport à $(AB)$

$\left(D'\right)$ est donc l'ensemble des symétriques $M'$ des points $M$ de $(D)$

$\left(D'\right)$ est donc la droite symétrique de $(D)$ par rapport à $(AB)$

Exercice 2

1. Trace deux cercles $c(O\;,r)$ et $C'\left(O'\;,R\right)$ sécants en $A$ et $B$ et tels que $r<R$
 
Par $A$, trace une droite $(D)$ qui recoupe $C$ en $E$ et $C'$ en $F'$

Par $B$, trace la droite $\left(D'\right)$ parallèle à la droite $(D)$ ; elle recoupe $C$ en $H$ et $C'$ en $G.$

2.a. Fais une conjecture sur la nature du quadrilatère $EFGH$

b. Trace respectivement par $O$ et $O'$ les droites $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ perpendiculaires à $(D)$ et $\left(D'\right)$
Vrai ou faux ?

$F$ est l'image de $E$ par l'action successive de la symétrie d'axe $\left(\Delta'\right)$, suivie de la symétrie d'axe $\left(\Delta\right)$

c. Prouve la conjecture émise au $2.a.$

Solution

a. Le quadrilatère $EFGH$ est un parallélogramme.

b; Vrai car $(\Delta)$ médiatrice du segment $[EA]$ donc l'image de $E$ par la symétrie d'axe  est $A$

$\Delta'$ médiatrice du segment $[AF]$ donc l'image de $A$ par la symétrie d'axe  est $F.$

c. Montrons que $EFGH$ est parallélogramme

Nous savons que deux symétries orthogonales successives d'axes parallèles est une translation

Donc $F$ et $G$ sont les images respectives de $E$ et $H$ par la translation de vecteur $2\overrightarrow{MN}$

$M$ est le point d'intersection de $(D)$ et de  $(\Delta)$ et $N$ celui de $(D)$ et  $\left(\Delta'\right)$

On a alors $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{HG}$$  donc le quadrilatère $EFGH$ est un parallélogramme.

Exercice d'entraînement

Exercice 1

On fait subir à la figure suivante l'action successive de la symétrie par rapport à la droite $(LM)$, suivie de la symétrie par rapport à la droite $(LN)$

Construire directement la figure obtenue en utilisant les résultats du cours.

Exercice 2

Refaire en plus grand la figure suivante dans laquelle $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux des côtés du quadrilatère $ABCD$

1. Quelle est la nature du quadrilatère $IJKL$ ?

Justifie ta réponse.

2.a Construis directement l'image du quadrilatère $ABCD$ par l'action successive de la symétrie par rapport à $I$, suivie de la symétrie par rapport à $L$

b. Quelle remarque peux-tu faire à propos de l'image de $ABCD$ par l'action successive de la symétrie de centre $J$ suivie de la symétrie de centre $K$ ?

3) Construis directement l'image de $ABCD$, par l'action successive de la symétrie d'axe$(LK)$ suivie de la symétrie d'axe $(IJ)$