Thalès - 3ème

Pré-requis

1.Signification de l'écriture $\dfrac{AB}{CD}$

2. Droite des milieux.

3. Deux sécantes coupées par trois droites parallèles et équidistantes.

Compétences exigibles

Reconnaître une configuration de Thalès.

Connaître et utiliser le théorème de Thalès pour calculer des longueurs.

Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour justifier que des droites sont parallèles.

Connaître et utiliser la propriété relative à l'aire.

Connaître et utiliser le théorème de Thalès pour :

$-\ $partager un segment dans un rapport donné

$\bullet\ $placer un point d'abscisse connue sur une droite graduée.

1. Théorème direct

Soit $ABC$ un triangle, $M$ un point de $(AB)$ et $N$ un point de $(BC)$

SI $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ alors $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$

Configuration

Déductogramme

$$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$$

2. Conséquence :

Si deux triangles sont en position de Thalès alors les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles.

3. Réciproque du théorème de Thalès

Soit un triangle $ABC$

Si les points $A$, $M$ et $B$ d'une part et $A$, $N$ et $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre

Et si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$

Alors $(MN$) et $(BC)$ sont parallèles.

Configuration

Déductogramme

4. Partage d'un segment dans un rapport donné

a. Construire les $2/3$, les $5/3$ $\ldots$ d'un segment.

Énoncé

Trace un segment $[AB]$

Construis sur la droite $(AB)$ un point $C$ et un point $D$ tels que :    

Solution

Je trace une demi-droite d'origine $A.$

Sur cette demi-droite je place (par exemple au compas) $5$ points $I$, $J$, $K$, $L$ et $M$ tels que :
$$AI=IJ=JK=KL=LM$$

Je trace parallèlement à $(KB)$ une droite passant par $J$ et une droite passant par $M.$ Elles coupent la droite $(AB)$ en $C$ et $D$ tels que :
$$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AJ}{AK}=\dfrac{2}{3}\text{ et }\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{5}{3}$$

b. Construire sur une droite donnée un point d'abscisse donnée.

Énoncé

Trace une droite graduée $(D)$, muni d'un repère $(A\ ;\ B)$

Construis sur $(D)$ les points $E$ et $F$ d'abscisses respectifs. $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{-2}{3}$

Pour construire le point $E$ d'abscisse $2/3$, je construis les $2/3$ du segment $[AB]$ $\text{(voir }4) a)).$

Le point $F$ d'abscisse $-2/3$ est le symétrique du point $E$ par rapport à $A.$

5. Construire une quatrième proportionnelle

Énoncé

Trace trois segments de longueurs : $4\,cm$, $b=6\,cm$ et $c=2.4\,cm$
Construis un segment de longueur $t$ tel que $at=bc$

Je trace deux demi-droites $[OX)$ et $[OY)$ de même origine.

Je marque sur $[Ox)$ deux points $A$ et $B$ tels que :

$OA=4\,cm$  et  $OB=6\,cm$

Je marque sur $[Oy)$ le point $C$ tel que :
$OC=2.4\,cm$

Je trace la parallèle à $(AC)$ passant par B. Elle coupe $[Oy)$ en $D$ tel que :

ce qui équivaut à  $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{t}$
       .
Ainsi le segment $[OD]$ répond à la question.

Je peux vérifier en mesurant ce segment et en comparant avec le résultat obtenu par calcul :

$t=\dfrac{bc}{a}=\dfrac{6\times 2.4}{4}=3.6\,cm$

$a=4\,cm$ ;

$b=6\,cm$ ;

$c=2.5\,cm$

Application

Exercice 1:

Dans chacun des cas de figures, calculer la longueur inconnues.

1. $(MN)(JG)\;,AB=22$ $AC=26\ ;\ AM=34\;,AN=?$

$(IF)(JG)\;,EJ=6.4$ $EI=2\ ;\ FG=5.5\ ;\ EF=?$

$(AB)(EF)\ ;\ AE=3\ ;\ AF=4$ $EB=2.1\ ;\ FC=?$

Solution

1. $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$ Donc $\dfrac{AN}{26}=\dfrac{34}{22}$ et $AN=26\times \dfrac{34}{22}=\dfrac{13\times 34}{11}$

2. $\dfrac{EI}{EJ}=\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{IF}{JG}$ On a aussi : $\dfrac{EI}{IJ}=\dfrac{EF}{FG}$ avec $IJ=EJ-EI=6.4-2=4.4$

Donc : $\dfrac{2}{4.4}=\dfrac{EF}{5.5}$ ; d'où : $EF=\dfrac{2\times 5.5}{4.4}=\dfrac{5.5}{2.2}=\dfrac{55}{22}=2.5\,cm$

3. $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}$ donc : $\dfrac{3}{2.1}=\dfrac{4}{FC}$ ; d'où $FC=\dfrac{4\times 2.1}{3}=\dfrac{8.4}{3}=2.8\,cm$

Exercice 2 :

Compléter le tableau ci-dessous qui concerne la figure dans laquelle les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline AB&AC&BC&AE&AF&EF\\ \hline 6&9&10&2&&\\ \hline 15&12&6&&2&\\
\hline 8&10&12&&&4\\ \hline &&9&5&4&6\\ \hline \end{array}$

f

Solution :

1. $AB=6$ ; $AC=9$ ; $BC=10$ ; $AE=2$ Calculer $AF$ et $EF$

On a : $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{EF}{BC}$ Donc : $\dfrac{2}{6}=\dfrac{AF}{9}=\dfrac{EF}{10}$ et $AF=\dfrac{2\times 9}{6}=\dfrac{18}{6}=3\;,EF=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$

2. $AB=15\ ;\ AC=12\ ;\ BC=9\ ;\ AF=2$ Calculons $AE$ et $EF$

On a : $\dfrac{AE}{15}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{EF}{6}$ Donc : $AE=\dfrac{15\times 2}{12}=\dfrac{5}{2}=2.5$ et $EF=\dfrac{6\times  2}{12}=1$

3. $AB=8\& ;\ AC=10\ ;\ BC=12\ ;\ EF=4$ Calculons $AE$ et $AF$

On a : $\dfrac{AE}{8}=\dfrac{AF}{10}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ Donc : $AE=\dfrac{8}{3}$ et $AF=\dfrac{10}{3}$

4. $BC=9\ ;\ AE=5\ ;\ AF=4\ ;\ EF=6$ Calculons $AB$ et et $AC$

On a : $\dfrac{5}{AB}=\dfrac{4}{AC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ Donc, $AB=\dfrac{5\times 3}{2}=\dfrac{15}{2}=7.5$ et $AC=\dfrac{4\times 3}{2}=6$