Relations trigonométriques dans un triangles rectangle pré-requis

Théorème de Pythagore ; complémentarité des angles aigus d'un triangle rectangle ; racines carrées.

Compétences exigibles

Connaître la définition et la notation du cosinus dans un triangle rectangle.

Calculer le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle.

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant un cosinus et une autre longueur

Connaître la définition et la notation du sinus d'un angle aigu d'un angle aigu dans un triangle rectangle.

Calculer le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle.

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant un sinus et
une autre longueur.

Connaître la définition et la notation de la tangente dans un triangle rectangle.

Calculer la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle.

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant une tangente et une autre longueur.

Déterminer une valeur approchée (à l'aide de la machine à calculer ou d'une table trigonométrique) d'un angle aigu d'un triangle rectangle connaissant son sinus ou son cosinus ou sa tangente.

Connaître et utiliser la relation : $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$

Connaître et utiliser la relation entre le cosinus et le sinus d'angles complémentaires.

Connaître et utiliser les cosinus, sinus et tangente d'un angle de mesure $30°$, $45°$ ou $60°$

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$
 
1. Cosinus d'un angle aigu

Définition - Notation

$\bullet\ $Dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport :

$\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hyperténuse}}$

$\bullet\ $Le cosinus de l'angle $\mathbb{R}$ est noté $\cos_{\overbrace{R}}$ $\cos_{\overbrace{R}}=\dfrac{AB}{BC}$

$-\ $Remarque : si $\overbrace{B}$ est un angle aigu alors : $0<\cos\overbrace{B}<1$

2. Sinus d'un angle aigu

Définition - Notation

$\bullet\ $Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au rapport $\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

$\bullet\ $Le sinus de l'angle $\overbrace{B}$ est noté $\sin\overbrace{B}$ $\sin\overbrace{B}=\dfrac{AC}{BC}$

$-\ $Remarque : Si $\overbrace{B}$ est un angle aigu alors : $0<\sin\overbrace{B}<1$

3. Tangente d'un angle aigu :

Définition - Notation

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale au rapport $\dfrac{\text{coté opposé }}{\text{côté adjacent}}$

$\bullet\ $La tangente de l'angle $\overbrace{B}$ est noté $\tan\overbrace{B}$ $\tan_\overbrace{B}=\dfrac{AC}{AB}$

Remarque : $\tan\overbrace{B}=\dfrac{\sin\overbrace{B}}{\cos\overbrace{B}}$

3. Relation entre le sinus et le cosinus d'un même angle aigu :

Pour tout réel $\alpha$ on a :$\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$

Remarque : On note que $(\cos\alpha)^{2}=\cos^{2}\alpha$

démonstration : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$

On pose $\overbrace{B}=\alpha$

$\cos\alpha=\dfrac{AB}{BC}$ ; $\cos^{2}\alpha=\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}$ ; $\sin^{2}\alpha=\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^{2}=\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}$

D'après le théorème de Pythagore : $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ ; donc : $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=\dfrac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$

5. Sinus et cosinus d'angles complémentaires

$\bullet\ $Lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre.

$\bullet\ $Dans un triangle rectangle, les tangentes des deux angles complémentaires sont inverses l'une de l'autre.

Justification :

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A.$

Les angles $\overbrace{B}$ et $\overbrace{C}$ sont complémentaires $\left(\overbrace{B}+\overbrace{C}=90°\right)$

$\bullet\ \sin\overbrace{B}=\dfrac{AC}{BC}$ et $\cos\overbrace{C}=\dfrac{AC}{BC}$ donc : $\sin\overbrace{B}=\cos\overbrace{C}$

$\bullet\ \sin\overbrace{C}=\dfrac{AB}{BC}$ et $\cos\overbrace{B}=\dfrac{AB}{BC}$ donc : $\sin\overbrace{C}=\cos\overbrace{B}$

$\tan\overbrace{B}=\dfrac{AC}{AB}$ et $\tan\overbrace{C}=\dfrac{AB}{AC}$ donc : $\tan\overbrace{B}$ et $\tan\overbrace{C}$ sont inverses.

Propriétés

Le cosinus d'un angle aigu est égal au sinus de son complémentaire.

Configuration

Traduction mathématique

Si $\alpha+\beta=90°$,

alors $\sin\beta=\cos\alpha$ et $\cos\beta=\sin\alpha$

5. Cosinus, sinus et tangente d'angle de mesure : $30°$, $45°$, $60°$

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \overbrace{B}&30°&45°160°\\ \hline\sin\overbrace{B}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \hline \cos\overbrace{B}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}\\ \hline \tan\overbrace{B}&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}\\ \hline \end{array}$

Justification :

$-\ $Angles de $30°$ et $60°$

Soit ABC un triangle équilatéral de côté a et $H$ le pied de la hauteur issue de $A$

Cette hauteur issue de $A$ est en même temps bissectrice de l'angle  et médiatrice de $[BC]$

$ABH$ triangle rectangle en $H$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a :

$AH^{2}=a^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}$

$AH^{2}=\dfrac{4a^{2}-a^{2}}{4}=\dfrac{3a^{2}}{4}$

$AH^{2}=\sqrt{\dfrac{3a^{2}}{4}}$ ; donc : $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{rcl} \cos B\overbrace{A}H=a\sqrt{3}\dfrac{2}{a}\\&=&\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{1}{a}\\&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\&=&\cos 30° \end{array}$

$\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$-\ $Les angles de mesures $30°$ et $60°$ sont

complémentaire donc :

$\sin 60°=\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos 60°=\dfrac{1}{2}$

$-\ $Angle de $45°$

Soit $ABC$ un triangle rectangle isocèle de sommet $A$

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ donc d'après le théorème de Pythagore,

on a :

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

$BC^{2}=a^{2}+a^{2}$

$BC^{2}=2a^{2}$

$\begin{array}{rcl} BC&=&\sqrt{2a^{2}}\\&=&\sqrt{2}\times\sqrt{a^{2}}\\&=&\sqrt{2} \end{array}$

$a=a\sqrt{2}\cos\overbrace{B}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos 45°$

Les angles $\overbrace{B}$ et $\overbrace{C}$ sont complémentaires donc : $\overbrace{B}=\sin\overbrace{C}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin 45°$

Remarque : Pour les tangentes des angle de $30°$, $45°$ et $60°$, calculer les rapports

$\dfrac{\sin 30°}{\cos°}$ ; $\dfrac{\sin 45°}{45°}$ ; $\dfrac{\sin 60°}{\cos°}$

Application :

Exercice 1

(Démonstration du théorème de Thalès en utilisant la projection orthogonale)

$1°$ Partie

Soit $(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes en $A$, $B$ un point de $(D)$, $C$ un point de $(D')$ et $M$ un point quelconque de $(D)$.

La droite passant par $M$ et parallèle à $(BC)$ coupe $(D')$ en $M'$

Soit $E$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$, et $F$ le point d'intersection de $(AE)$ et $(MM')$

Justifier que : $\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AE}{AB}$

En déduire que $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AM'}$

Solution

On a $M$ qui appartient à $(D)$ donc à la droite $(AB)$ : $A$, $M$ et $B$ sont alignés.

De même pour les points $A$, $M'$ et $C.$

$\left(MM'\right)$ est parallèle à $(BC)$

$-\  \left(MM'\right)$ et $(BC)$ étant parallèles d'une part et $(AE)$ étant perpendiculaire à $(BC)$ d'autre part, alors $(AE)$ est perpendiculaire à $\left(MM'\right)$

D'où les triangles $AEB$ et $AFM$ sont rectangles respectivement en $E$ et $F.$

On a : $\overbrace{BAE}=\overbrace{MAF}$ donc on a : $\cos\left(\overbrace{BAE}\right)=\cos\left(\overbrace{MAF}\right)$

Or dans le triangle $ABE$, $\cos\left(\overbrace{BAE}\right)=\dfrac{AE}{AB}$ et dans le triangle $AMF$, $\cos\left(\overbrace{MAF}\right)=\dfrac{AF}{AM}$

Conclusion $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AM}$

c. De même $\cos\left(\overbrace{CAE}\right)=\cos\left(\overbrace{M'AF}\right)$ d'où : $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AM'}$

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AM}$ équivaut à $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AM}$ de même : $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AM'}$ équivaut à $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AM'}$

On a donc : $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AM'}$, d'où : $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AM'}$