Équations et système d'équations du 1er degré à deux inconnues pré-requis - 3eme

Représentation graphique d'une droite dans le plan.

Compétences exigibles

$\bullet\ $Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ une équation du premier degré à deux inconnues.

$\bullet\ $Vérifier qu'un couple de réels est solution ou non d'une équation à deux inconnues du type indiqué

$\bullet\ $Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ un système de deux équations à deux inconnues du type indiqué par substitution, par addition, par comparaison.  

$\bullet\ $Reconnaître la position relative des droites dont les équations interviennent dans le système.

$\bullet\ $Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ un système de deux équations à deux inconnues du type indiqué

1. Équation à deux inconnues du type : $ax+by+c=0$ où les inconnues sont $x$ et $y$
Vocabulaire

$2x-y+1=0$ est une équation du $1^{er}$ degré à deux inconnues ;

Si l'on remplace $x$ par $1$ on obtient :
$2x-u+1=0$    et par suite :    $y=3$

On dit que le couple $(1\ ;\ 3)$ est une solution de l'équation : $2x-y+1=0$

Vérifie que $(1\ ;\ 3)$ est aussi une solution de l'équation : $2x-y+1=0$

Représentation graphique

Méthode graphique

Pour trouver graphiquement les solutions de l'équation du $1r$ degré à deux inconnues
$ax+by+c=0$, on trace dans un repère la droite d'équation $ax+by+c=0$

Remarque
Une équation du $1er$ degré à deux inconnues admet une infinité de solutions.

2. Systèmes d'équations  à deux inconnues du type :

a. Méthodes de résolution : substitution ; comparaison ; addition

Résoudre le système suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y&=&200\quad (1)\\ x+y&=&1600\quad (2) \end{array}\right.$

Résoudre le système, c'est trouver l'ensemble des solutions communes aux deux équations.

Méthode par substitution

J'exprime $y$ en fonction de $x$ dans l'équation $(2)$ ci dessus.

J'obtiens :     $y=1600-x$

Je remplace $y$ par $1600-x$ dans $(1)$, j'obtiens

L'équation $2x-3(1600-x)=200$

Que je résous :    $2x-3(1600-x)=200$

Équivaut à         $2x-4800+3x=200$

Équivaut à         $2x+3x=200+4800$

Équivaut à         $5x=5000$

Équivaut à         $x=1000$

Je remplace x par cette valeur dans $y=1600-x$

J'obtiens :    $y=1600-1000$

C'est-à-dir $y=600$

Je conclus que le couple de réels $((1000\ ;\ 600)$ est la solution du système.

On note $S=(1000.600)$

Méthode par substitution

1 - Substituer $y$ en fonction de $x$
 
2 - Remplacer dans la deuxième équation $y$ par son expression en fonction de $x$

3 - Résoudre l'équation en $x$ obtenue

4 -Remplacer dans l'expression de $y$, $x$ par sa valeur (si elle existe) pour obtenir une valeur de $y$

5 - Le couple solution est $(x\;,y)$
 
Remarque : on peut aussi substituer $x$ en fonction de $y$

Méthode par combinaison ou par addition

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y=200\quad (1)\\ x+y=1600\quad (2) \end{array}\right.$

Je multiplie chaque membre de $(2)$ par $3$

J'obtiens le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y&=&200\\ 3x+3y&=&4800 \end{array}\right.$

J'additionne membre à membre les deux équations et j'obtiens : $2x-3y+3x+3y=200+4800$
Je résous cette équation $2x+3x=200+4800$ équivaut à $5x=5000$

Soit $x=1000$

Je remplace x par cette valeur dans $(1)$

J'obtiens : $1000+y=1600$  soit $y=600$

Je conclus que le couple de réels $(1000\ ;\ 600)$ est la solution du système.

On note $S=(1000.600)$

Méthode par addition

1. Choisir des nombres permettant d'annuler par sommation membre à membre les $x$ ou les $y$

2. Multiplier les équations par ces nombres

3. Additionner membre à membre les nouvelles équations obtenues

4. Résoudre l'équation en $x$ $\text{(ou en }y)$

5. Remplacer la valeur trouvée pour $x$
$\text{(respectivement  }y)$ dans une des équations pour obtenir une valeur de $y$ $\text{(respectivement } x)$

6. Vérifier la solution obtenue

7. L e nombre $(x\;,y)$ est la solution.

Méthode par comparaison

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y&=&200\quad(1)\\ x+y&=&1600\quad(2) \end{array}\right.$

J'exprime $y$ en fonction de $x$ à partir de $(1)$ et $(2)$; j'obtiens : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} y&=&\dfrac{2x-200}{3}\\ y&=&1600-x \end{array}\right.$

D'où je tire l'équation :

$\dfrac{2x-200}{3}=1600-x$

Je résous cette équation :

$\dfrac{2x-200}{3}=1600-x$

Équivaut à     $2x-200=4800-3x$

Équivaut à $2x+3x=4800+200$

Équivaut à $5x=5000$

Équivaut à    $x=1000$

Je remplace x par cette valeur dans  $y=1600-x$ ; j'obtiens : $y=1600-1000$

C'est-à-dire $y=600$

Je vérifie en remplaçant $x$ et $y$ dans les deux équations.

Je conclus que le couple de réels $(1000 ; 600)$ est la solution du système.

On note $s=(1000.600)$

Méthode par comparaison

Exprimer $y$ en fonction de $x$ (respectivement $x$ en fonction de $y$) dans les deux équations

Obtenir une équation en $x$ (respectivement $y$) à partir des deux équations

Résoudre cette équation en $x$ (respect $y$)

Reporter la valeur de $x$ (respect $y$) pour obtenir $y$ (respect $x$)

Le couple $(x\;,y)$ est la solution

Remarque : La solution peut être notée $S=(x\;,y)$

b. Méthode graphique

On trace dans un même repère orthonormé les droites $(D1)$ et $(D2)$ d'équations respectives

$2x-3y=200$ et $x+y=1600$

$\text{(Prends }1\,cm\text{ pour }200 )$

Les droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$ se coupent au point I de coordonnées $(1000\ ;\ 600)$

Méthode graphique

On trace les droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$ d'équation respectives :

$\left(D_{1}\right)\ :\ 2x-3y=200$

$\left(D_{2}\right)\ :\ x+y=1600$

Les coordonnées du points $I$ d'intersection $(1000\ ;\ 600)$ constituent la solution du système.

Remarques :

$-\ $Si les droites sont sécantes, il y une seule solution (coordonnées du point d'intersection).

$-\ $Si les droites sont strictement parallèles, il n'y a pas de solution (pas de point d'intersection).

$-\ $Si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions (l'ensemble des coordonnées des points de la droite.)

Application

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$, les systèmes suivants :

 
a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y&=&-4\quad (1)\\ -x+y&=&3\quad (2) \end{array}\right.$

b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+\dfrac{1}{2}y&=&1\quad (1)\\ 2x+y&=&4\quad (2) \end{array}\right.$

c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-\dfrac{3}{2}y&=&\quad (1)\\ 2x-3y&=&4\quad (2) \end{array}\right.$

Solution

a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y&=&-4\quad (1)\\ -x+y&=&3\quad (2) \end{array}\right.$

NB : Puisqu'on  n'a pas imposé une méthode de résolution pour cet exercice, l'élève est libre d'utiliser la méthode la plus opportune

Pour le $1er$ système, la méthode par addition est mieux indiquée ; ainsi si on additionne membre à membre les deux équations on obtient :

$(1)+(2)=2x-y-x+y=-4+3$; soit $x=-1$

on remplace $x$ par $-1$ dans $(2)$ et on obtient : $-(-1)+y=3$, soit $1+y=3$, donc $y=2$

$S={(-1\;,2)}$

(C'est le cas où les deux droites sont sécantes)

b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+\dfrac{1}{2}y&=&1\quad (1)\\ 2x+y&=&4\quad (2) \end{array}\right.$

On peut multiplier chaque membre de $(-1)$ par $-2$, on obtient :

On additionne membre à membre les deux équations et on obtient :
 
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} -2x-y&=&-2\quad (1)\\ 2x+y&=&4\quad (2) \end{array}\right.$

On additionne membre à membre les deux équations et on obtient : $-2x-y+2x+y=2$ ;
soit $0=2$ , ce qui est impossible

$S=\theta$

c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-\dfrac{3}{2}y&=&2\quad (1)\\ 2x-3y&=&\quad (2) \end{array}\right.$

On peut multiplier chaque membre de $(1)$ par $2$ et on obtient le système suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y&=&4\quad (1)\\ 2x-3y&=&4\quad (2) \end{array}\right.$

On constate que dans $(1)$ et $(2)$ on obtient la même équation, c'est la même droite, les deux droites sont confondues, on a ainsi une infinité de solutions

Les solutions peuvent se présenter ainsi :

On exprime $x$ en fonction de $y$, $2x-3y=4$, $x=\dfrac{3y+4}{2}$

$S=\left\lbrace\left(\dfrac{3y+4}{2}\;,y\right)y\in\mathbb{R}\right\rbrace$

Ou bien

On peut aussi exprimer $y$ en de $x$, $2x-3y=4$, $y=\dfrac{2x-4}{3}$ et $S=\left\lbrace\left(x\;,\dfrac{2x-4}{3}\right)\right\rbrace \;,x\in\mathbb{R}$