Évaluation a épreuves standardises du second semestre - TS1 - 2024-2025

Épreuve : mathématique

Exercice 1

1.a) Montrer par récurrence que pour tout $\in\mathbb{N}\;,21^{n}\equiv 1+20\,n\left(\text{mod }100\right)$
 
b. En déduire les deux derniers chiffres de l'entier $2021^{2021}$

On note $(E)$ l'ensemble des entiers  $x\in\mathbb{Z}$  tels que pour tout $\in\mathbb{N}\;,x^{n}\equiv 1+n(x-1)(\text{mod 100})$

2. Vérifier que $21$ est un élément de $(E)$

3. Soit $x$ un élément de $(E)$
 
a. Montrer que $(x-1)^{2}\equiv 0(\text{mod 100})$

b. En déduire que $x\equiv 1(\text{mod 10})$

4. Soit $q\in\mathbb{Z}$ Montrer que pour tout $\in\mathbb{N}\;,(1+10\,q)^{n}\equiv 1+10\,nq\text{mod }100)$

5. Déterminer l'ensemble $(E)$                                                                      
 
Exercice 2

Le plan est muni du repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M(x\ ;\ y)$ associe le point $M'\left(x'\ ;\ y'\right)$ tel que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&\cos\theta x-\sin\theta y\\ y'&=&\sin\theta x+\cos\theta y \end{array}\right.\text{ où }\theta\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

Soit $(\Gamma)$ la courbe d'équation : $2x^{2}+y^{2}+\sqrt{3}xy-1=0$ et $\left(\Gamma'\right)$ son image par $f$
 
1. Déterminer
  
a. l'écriture complexe de $f$ et en déduire sa nature et ses éléments caractéristiques.                            

b. Une équation de $\left(\Gamma'\right)$ en fonction $\theta$
                                                          
c. Les valeur$(s)$ de $\theta$ pour (la) lesquelles(s) $\left(\Gamma'\right)$ est-elle une ellipse.                                                  

2. On suppose dans la suite que $=\dfrac{\pi}{3}$
  
a. Donner la nature et les éléments caractéristique de $\left(\Gamma'\right)$
                                                                  
b. Déduire la nature de $(\Gamma)$ et préciser ses éléments caractéristiques.                                                   

c. Construire $(\Gamma)$ et $\left(\Gamma'\right)$ dans un même repère, on précisera une procédure de construction de $(\Gamma)$ 

3. Soit $M$ un point d'affixe $z$
 
a. Démontrer que l'ensemble des points $M(z)$ tels que : $z+\overline{z}-6=0$ est une droite $(D)$

b. Montrer que la distance du point $M$ à la droite $(D)$ est $\dfrac{1}{2}\left|z+\overline{z}-6\right|$
 
Problème 
  
Partie A 

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on associe la fonction $f_{n}$ définie sur $\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ par :$$f_{n}(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\ln\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$$

On note par $\left(C_{n}\right)$ la courbe représentative de $f_{n}$  dans un repère orthonormal $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$

1. Soit $g_{n}$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ par $g_{n}(x)=n\ln\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{2x-1}{2x+1}$

a. Étudier les variations de la fonction $g_{n}$

b. Calculer $g_{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et déterminer le signe de $g_{n}$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ 

2.a. Pour tout $x\in\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ montrer que $f_{1}'(x)=g_{1}(x)$ et que $f_{n}'(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}g_{n}(x)$

b. Étudier les variations de $f_{n}$ et dresser son tableau de variation. 

(On distinguera le cas où $n$ est pair et le cas où $n$ est impair).
                                                                                                                       
3. On note par $T$ la translation du plan de vecteur $-\dfrac{1}{2}\vec{i}$

On note $\left(E_{n}\right)$ l'image de $\left(C_{n}\right)$ par la translation $T$
 
a. Donner l'écriture complexe et analytique de $T$

b. Donner une équation cartésienne de $\left(E_{n}\right)$
                                                                                                                                                 
4.a. Étudier les positions relatives de $\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{2}\right)$

b. Tracer les courbes $\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{2}\right)$ sur le même figure.                                                                          

Partie B 

On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(u_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par :

$u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}$ et $v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}$ 

1. Soit $t\in[0\ ;\ 1[$

a. Justifier que $\sum_{k=1}^{n}(-t)^{k}=\dfrac{1+(-1)^{n}t^{2n}}{1+t^{2}}$

En déduire que $v_{n}=\dfrac{\pi}{4}+(-1)^{n}\int_{0}^{1}\dfrac{t^{2n}}{1+t^{2}}dt$

b. Vérifier que pour tout $\geq 1\;,\left|u_{n}-\ln(2)\right|\leq \dfrac{1}{n+1}$

Déduire alors $\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}u_{n}$
 
2. Montrer que la dérivée de la fonction arctan$(x)$ sur $\mathbb{R}$  est : $\dfrac{1}{1+x^{2}}$
 
3. Soit $t\in[0\ ;\ 1[$

a Justifier que  $\sum_{k=1}^{n}\left(-t^{2}\right)^{k}=\dfrac{1+(-1)^{n}t^{2n}}{1+t^{2}}$ 
 
En déduire que $v_{n}=\dfrac{\pi}{4}+(-1)^{n}\int_{0}^{1}\dfrac{t^{2n}}{1+t^{2}}dt$
 
b. Déduire alors $\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty }v_{n}$

Partie C 

Soit la suite $\left(w_{n}\right)$ définie par     

$w_{n}=\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{3}{2}}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\ln\left(x+\dfrac{1}{2}\right)dx$

1. Montrer que pour tout $n\geq 1$, $0\leq w_{n}\leq \dfrac{\ln (2)}{n+1}$
                                                           
2. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$                                                

$w_{n}=\dfrac{\ln (2)}{n+1}-\dfrac{2^{-n}}{n+1}\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{3}{2}}\dfrac{(2x-1)^{n+1}}{2x+1}dx$
 
3) On pose pour tout $n\geq 1$ et $\dfrac{1}{2}\leq x\leq\dfrac{3}{2}$ ; 

$s_{N}(x)=1-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\ldots+(-1)^{n}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n}$

a. Montrer que : $S_{n}(x)=\dfrac{2}{2x+1}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\dfrac{(2x-1)^{n+1}}{2x+1}$

b. Déduire que : $w_{n}=\dfrac{2}{2x+1}+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n+1}\left[\ln 2-1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n+1}\right]$

c. Exprimer alors $w_{n}$ en fonction de  $u_{n+1}$ avec $\left(u_{n}\right)$ la suite définie dans la  Partie $B$
              
d. Calculer alors la limite de $w_{n}$