Composition mathématique - TL

Exercice 1

Soient $f$ et $g$ deux application telles que : $f(x)=-3+2$ et $g(x)=x^{2}-5$

1. Déterminer $fog(x)$ et $gof(x)$

2. Calculer $fog(x)$ pour $x=2$ de deux manière différentes.

Exercice 2

1. Soit $P(x)=-x^{4}+2x^{3}-x+2$

a. Calculer $P(-1)$ et $P(2)$

b. Factoriser $P(x)$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $(x+1)(x-2)\left(-x^{2}+x-1\right)=0$

b. $(x+1)(x-2)\left(-x^{2}+x-1\right)<0$

3. On donne : $q(x)x^{3}+6x^{2}+ax+b.$

Déterminer $a$ et $b$ pour que $-1$ et $-2$ soient des racines de $q(x)$

Problème 

Soit $f$ la fonction définie $f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x-5}{x+1}$ et $\left(C_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan, unité $1\,cm$

1.a. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f.$

b. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$

c. En déduire une asymptote à $\left(C_{f}\right)$ que l'on précisera.

2.a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $D_{f}$ et étudier son signe. 

b. Donner le tableau de variation de $f.$

3.a. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=2x+1$ est asymptote à $\left(C_{f}\right)$

b. Étudier la position relative de $\left(C_{f}\right)$ et $(D)$

4. Montrer que le point $A(-1\;,-1)$ est un centre de symétrie de $C_{f}$

5. Déterminer les points d'intersection de $\left(C_{f}\right)$ avec les axes du repère.

6. Construire $\left(C_{f}\right)$ et ses asymptotes