Composition mathématique - 1er S2

Exercice 1

I. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $\sqrt{x^{2}-2x-3}-x-4=0$ ; 

b. $\sqrt{-x^{2}-x+2}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ ;

c. $\sqrt{2x^{2}-3x-2}\leq 1-x$ ; 

d. $\sqrt{x^{2}-3x+1}>\sqrt{2x^{2}+x+1}$

e. $\sqrt{x^{2}-5x+4}>x-2$

II. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y+z&=&5&\\ x+2y+z&=&\\ -3x+2y+4z&=&3 \end{array}\right.$$

Exercice 2 

1. Recopier et compléter sur vos copies les deux phrases suivantes

$-\ $Une fonction $f$ définie de $A$ vers $B$ est une application si $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$-\ $une application $f$ est une fonction dont l'ensemble de définition$\ldots\ldots\ldots\ldots$ à l'ensemble de départ 

2. Soit l'application $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
$$x\mapsto\,x^{2}$$

Vérifier si $f$ est injective, surjective ou bijective.

3. Montrer que l'application $g\ :\ [0\ ;\ +\infty[\rightarrow[0\ ;\ +\infty[$ est bijective 
$$x\mapsto x^{2}$$

4. Définir sa bijection réciproque $g^{-1}$

Exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthogonal $\left(O\;,\vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).$ 

Soit $C_{f}$ la courbe représentative d'une fonction numérique $f.$

On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=|f(x)|$

1. Rappeler comment on peut construire la courbe $C_{g}$ de $g$ à partir de celle de $f.$

2. On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x)=x^{3}$

dont la représentation graphique $C_{f}$ dans un repère orthogonal $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ est donnée en annexe (voir feuille annexe)

Construire en couleur dans le même repère orthogonal $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ la représentation graphique $C_{g}$ de la fonction numérique $g$ définie par $g(x)=\left|x^{3}\right|$

Exercice 4 : 

Soit $ABCD$ un quadrilatère,$\overrightarrow{V}$ le vecteur défini par : $\overrightarrow{V}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+k\overrightarrow{MD}$ où $k$ est une constante réelle.

1. Déterminer $k$ pour que $\overrightarrow{V}$ soit un vecteur constant 

2. Pour cette valeur de $k$ trouvée, exprimer $\overrightarrow{V}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

Pour la suite de l'exercice on prendra $k=1$

3. Soit $G$ le barycentre de $(A\;,-2)\;,(B\;,1)\;,(C\;,1)$ et $(D\;,1)$

Soit $O$ l'isobarycentre de $B$, $C$ et $D$ ; $I$ milieu de $[CD]$ ; $K$ milieu de $[BC]$ ; $J$ tel que $AJ=-\overrightarrow{AB}$  et $L$ le barycentre de $(A\;,-2)$ et $(D\;,1)$

a. Faire la figure 

b. Construire $G$ (on explicitera la méthode utilisée).

c. Démontrer que les droites $(AO)$, $(IJ)$ et $(KL)$ sont concourantes.

4. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{V}$ en fonction de $\overrightarrow{MG}$

5. Déterminer et construire :

a. L'ensemble $(D)$ des points $M$ du $\mathbb{P}$ tel que :

$\left|2\overrightarrow{V}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|$

b. L'ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tel que : $\left|2\overrightarrow{V}\right|=6$