Composition mathématique n°2 - Ts2

Exercice 1

Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule, est exacte.

Donner le numéro de l'énoncé suivi de la réponse choisie. 

Chaque réponse exacte est notée $0.5$ point. 

Une réponse fausse ou une absence de réponse sont notées zéro.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{Enoncés }&A&B&C\\ \hline 1&\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}2x^{3}-x^{2}+\dfrac{1}{x}=&0&-\infty&2\\ \hline 2&\lim\limits_{x\longrightarrow 0}\dfrac{\cos x-1}{x}=&0&-\infty&1\\ \hline &\text{La suite }\left(u_{n}\right)\text{définie par }&&\\ 3&u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\text{ pour tout }&-\infty&0&+\infty\\ &n\in\mathbb{N}\text{ admet pour limite }&&\\ \hline &\text{Soit }h\text{ la fonction définie par }&&\\ 4&h(x)=\sin+x.\text{ Le calcul de la }&h\text{ n'a pas de}&\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}h(x)=-1&\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}h(x)=-\infty\\&\text{limite de} h \text{ en}\infty\text{ permet de }&\text{limite en }-\infty&\\ &\text{conclure que : }&&\\ \hline &\text{La courbe représentative se }&&\\ 5&\text{la fonction :}x\mapsto\sqrt{x^{2}+x}-x&y=\dfrac{1}{3}&y=\dfrac{1}{2}&y=-\dfrac{1}{3}\\ &\text{ admet en }+\infty\text{une }\\&\text{ asymoptote d'équation :}&&\\ \hline &\text{L’équation de la tangente à la }&&\\ 6&\text{ courbe de la fonction }&y=3x-1&y=3x+1&y=5x-3\\ &f: x\mapsto 2x^{3}-x^{2}+\dfrac{1}{x}\text{ au point }&&\\ &\text{d'abscisse }1\text{ est : }&& \\ \hline \end{array}$

Exercice 2

On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par : $U_{0}=2$ et $\forall n\in\mathbb{N}$, $U_{n+1}=\dfrac{SU_{n}-1}{U_{n}+3}$

oit r la fonction définie sur $I=[1\ ;\ +\infty[$ par : $r(x)=\dfrac{5x-1}{x+3}$

1.a. Dresser le tableau de variation de $r$

2.a. Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}$, $U_{n}-1>0$

b. En déduire que $\left(U_{n}\right)$ est minorée.

3.a. Montrer que pour tout $x$ de $I$, $r(x)+\dfrac{(x-1)^{2}}{x+3}=x$

b. En déduire que pour tout $x$ élément de $I$, $r(x)\leq x$

c. Déduire de $3.b$ le sens de variation de $\left(U_{n}\right)$

d. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est convergente puis déterminer sa limite.

4. Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite telle que : $\forall n\in\mathbb{N}$ $V_{n}=\dfrac{1}{U_{n}-1}$

a. Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{4}$

b. Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction $n.$

c. Retrouver : $\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}U_{n}$

Problème 

Partie A

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{|x|+3}{x^{2}+1}&\text{ si }<1\\ \sqrt{x^{2}+x+2}&\text{ si }x\geq 1 \end{array}\right.$ $\left(C_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ d'unité $2\,cm$

1. Montrer que $\D_{f}$, l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}$

2. Pour $x<1$, exprimer $f(x)$ sans le symbole de valeur absolue. 

3. Étudier la continuité de $f$ en $0$ puis en $1$

4. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ puis en $1.$ 

5. Étudier les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$

6.a. Montrer que pour tout $x<x1\;,f'(x)=\dfrac{x^{2}-6x-1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

b. Montrer que pour tout $x$ tel que $0<x<1\;,f'(x)=\dfrac{-x^{2}-6x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

c. Pour $x>1$, calculer $f'(x)$

7. Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation. 

8.a  Montrer que les droites d'équations $y=0$ et $x+\dfrac{1}{2}$ sont des asymptotes à $\left(C_{f}\right)$

b. Construire $\left(C_{f}\right)$

Partie B

On désigne par $g$ la restriction de $f$ à $[1\ ;\ +\infty[$

1. Montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer. 

2.Construire la courbe représentative $\left(C'\right)$ de la fonction réciproque $g^{1}$ de $g.$ 

3. Soit $h$ la fonction définie sur $[1\ ;\ +\infty[$ par $h(x)=\dfrac{4x+2}{f(x)}$

Déterminer la primitive de $h$ sur $\[1\ ;\ +\infty[$ qui s'annule en $1.$

​