Composition du première semestre Ts2 - 2024-2025

Épreuve mathématique

Exercice 1

Répondre aux questions suivantes :

1. Rappeler le théorème des valeur intermédiaires

2. Rappeler le théorème de la bijection

3. Soit $f : 1\rightarrow\,j$ une bijection, $x_{0}\in I$ et $t$ $y_{0}\in j$ tel que $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$

Quand dit-on que $f^{-1}$ est dérivable en $y_{0}$ ?

4. Soit $f(x)=\tan^{3}x$

Choisir la bonne réponse

Une primitive de la fonction $f$ sur $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{4}\right[$ est :

a. $\dfrac{1}{2}\tan^{2}x$

b. $\tan x+\tan^{2}x$

Exercice 2

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

Partie A :

1. Donner les formules d'Euler et de Moivre.

2. Soit $Z$ un nombre complexe.

Donner une condition algébrique, en utilisant $Z$ et $Z$ pour que :

a. $Z$ soit réel

b. $Z$ soit imaginaire pur.

3. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right)$

Déterminer l'écriture complexe complexe des transformations suivantes :

a. $h$ est l'homothétie de centre $A(2-i)$ et de rapport $k=-2$

b. $r$  est la rotation de centre $B(-i)$ et d'angle $\alpha=-\dfrac{\pi}{2}$

c. $s$ la similitude direct de centre $O$, de rapport $k=\sqrt{2}$ et d'angle $\theta=\dfrac{\pi}{4}$

Partie B :

On considère le polynôme complexe $P$ tel que $\forall z\in \mathbb{C}$

$P(z)=x^{3}+(4-3i)z^{^{2}}+(3-9i)z-2-6i$

1. Calculer $p(-2)$ est déterminer le polynôme $q$ tel que $p(z)=(z+2)q(z)$

2.a. Résoudre dans $\mathcal{C}$, l'équation $(E)\ :\ z^{2}+(2-3i)z-1-3i=0$

b. En déduire les racines du complexe $p$

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ I\ ;\ J\right)$

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=-1+i$ ;

$b=-1+2i$ et $c=-2$

a. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère;

b. déterminer l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme

4. Soit $s$ la similitude directe de centre $A$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $-\dfrac{3\pi}{4}$

a. Déterminer l'écriture complexe de $s$

b. Vérifier que $C$ est l'image du point $J$ par $s$

5. On donne $(H)$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tel que :
$$(H)\ :\ \left|(-1-i)z-3+i\right|=2\sqrt{2}$$

a. Vérifier que $(H)$ peut s'écrire $(H)\ :\ |-1-i)z-3+i|=2$

b. En déduire la nature de $(H)$ puis construire $(H)$

Problème :

Soit $f$ la fonction définie par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&x-2\sqrt{-x}_text{ si }x\leq 0\\ f(x)&=&\dfrac{x-\alpha}{1-x}\text{ si }x>0 \end{array}\right.\text{ et }\left(\mathcal{C}_{f}\right)\text{ sa courbe représentative }$

1. Montrer que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}-1$

2. Déterminer le réel $a$ pour que $f$ soit continue en $0$

3. Dans la suite on donne $a=2$

Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ interpréter les résultats.

4. Calculer les limites aux bornes et en déduire les équations des asymptotes parallèles aux axes du repère

5. Donner l'ensemble de dérivabilité de $f$ puis calculer $f'(x)$ dans les intervalles ou $f$ est dérivable

6. Étudier les variations de $f$ et en déduire le tableau de $f$

7. Étudier la branches infinie à $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ en $-\infty$

8. Tracer $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ dans un repère orthogonal $\left(O\;, i\;, j\right)$

9. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]1\ ;\ +\infty[$

a. Montrer que $g$ admet une bijection réciproque notée $g^{-1}$ dont on précisera l'ensemble de définition.

b. Dresser le tableau de variation de $g^{-1}$

c. Sans expliciter $g^{-1}$, calculer $g^{-1}(1)$

d. Tracer $\left(C_{g^{-1}}\right)$ dans le même repère que $\left(C_{f}\right)$