Composition mathématique - TL

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

Aucune justification n'est demandée. 

Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées ; une seule est exacte. 

Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. 

Une réponse inexacte ou une absence de réponse est notée $0$ point.

Recopie sur ta copie le numéro de la question associée à la réponse choisie

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{Réponse proposée }&\text{Réponse proposéé}&\text{Réponse proposée}&\text{Réponse proposé}\\ \hline \text{Questions }&A&B&C&D\\ \hline 1.\text{Si }&&&&\\ f(x)=3x^{2}-5x+2&\mathbb{R}1\ ;\ \dfrac{2}{3}&\left[\ ;\ \dfrac{2}{3}\right]&\mathbb{R}&1\ ;\ \dfrac{2}{3}\\ \text{alors }D_{f}=&&&&\\ \hline 2.\text{Si }f(x)=\dfrac{-4x+3}{-x-4}&-4&\mathbb{R}\dfrac{3}{4}&\mathbb{R}{4}&\mathbb{R}-4\\ \text{alors }D_{f}=&&&&\\ \hline 3.\text{Si }&&&&\\ f(x)=\sqrt{-3x+6}&\mathbb{R}2&[2\ ;\ +\infty[&]-\infty\ ;\ 2[&]-\infty\ ;\ 2]\\ \hline 4.\lim\limits_{x\longrightarrow 3^{-}}\dfrac{-2x+5}{x-3}=&-\infty&+\infty&0&-1\\ \hline 5 \lim\limits_{x\longrightarrow 1}\dfrac{x^{2}-4x+3}{x^{2}+5x-6}&0&-\infty&\dfrac{-2}{7}&+\infty\\ \hline 6.\text{La dérivée de }\dfrac{u}{v}&\dfrac{uv'-vu'}{v^{2}}&\dfrac{uv'+vu'}{v^{2}}&\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}}&\dfrac{u'v+v'u}{v^{2}}\\ \text{est égale à :}&&&&\\ \hline 7.\text{Une équation de la }&&&&\\ \text{tangente }(T)\text{ à la }&y=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)&y-f\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)&y=f'\left(x_{0}\right)(x)+f\left(x_{0}\right)&y+f\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\\ \text{courbe de la fonction }&&&&\\ f\text{ au point d'abscisse }x_{0}\text{ est :}&&&&\\ \hline 8.\text{Si }f\text{ est telle que }&&&&\\ f(x)=x^{3}-3x+2&11&9&0&12\\ \text{alors }f'(2)\text{ est égal à :}&&&&\\ \hline \end{array}$

Exercice 2

1. On donne $P(x)=ax^{3}+\beta x^{2}-9x+18$ avec $\alpha$ et $\beta$ des réels.

Sachant que $3$ et $-2$ sont des racines de $P(x)$, déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$

2. On pose $\alpha=2$ et $\beta=-2$ ce qui donne $P(x)=2x^{3}-5x^{2}-9x+18$

a. Factoriser complètement $P(x)$

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$ puis en déduire les solutions de l'équation

$P(2x+1)=0$

3. On pose : $h(x)=\dfrac{2x^{3}-5x^{2}-9x+18}{-x^{2}+x+2}$

a. Déterminer la condition d'existence de $h(x)$

b. Étudier le signe de $h(x)$

c. En déduire la solution de l'inéquation $h(x)\geq 0$

Exercice 3 : 

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{-x^{2}-3x+9}{x-2}$ et de courbe représentative $\left(C_{f}\right)$ dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

1. Déterminer le domaine de définition de $f.$

2. Calculer les limites de $f(x)$ aux bornes du domaine de définition de $f.$

En déduire une éventuelle asymptote de $\left(C_{f}\right)$

3.a. Montrer que la droite $(\Delta)\ :\ y=-x-5$ est une asymptote oblique à $\left(C_{f}\right)$

b. Étudier la position de $(\Delta)$ par rapport à $\left(C_{f}\right)$

4.a. Montrer que $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$ est égale à : $f'(x)=\dfrac{-x^{2}+4x-3}{(x-2)^{2}}$

b. En déduire le sens de variations de $f.$

c. Dresser le tableau de variation de $f.$

5. Déterminer une équation de la tangente à $\left(C_{f}\right)$ au point d'abscisse $x_{0}=4.$

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