Composition du premier semestre 1s2 2024-2025

Exercice 1

Donner le numéro de la question et indiquer la bonne réponse  (sans réponse)

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline N°&\text{Questions }&\text{Réponse }A&\text{Réponse }B&\text{Réponse }C\\
\hline 1&\text{L'application }f\text{ définie de }E\text{ vers }F&\text{pour tout }a\text{ et }b\text{ de }E\;,f(a&\text{pour tout }a\text{ et }b\text{ de }E\;,\text{ tel }a &\text{pour tout }a\text{ et }b\text{ de }E\text{ tel que}\\ &\text{est injective si}&=f(b)\text{ alors }a=b&=b\text{ alors }f(a)=f(b)&\neq (b)\text{ alors }a\neq b\\ \hline 2&\text{l'ensemble des points }M\text{ du}&\text{un point }A(-2\ ;\ 1)&\phi&\text{Le cercle de centre }O(-2\ ;\ 1)\\ &\text{plan tel que :}x^{2}+y^{2}+&&&\text{et de rayon }3\\ &4x-2y+14=0\text{ est :}&&&\\ \hline 3&\text{Le point }I\text{ ,milieu de }[AB]\text{ est }&(A\;,-3)\text{ et }(B\;,3)&(A\;,-\sqrt{2})\text{ et }(B\;,-3)&(A\;,-\sqrt{2})\text{ et }(B\;,-\sqrt{2})\\ &\text{le barycentre des points }&&&\\ &\text{pondérés, }&&&\\ \hline 4&\text{L'inéquation }\sqrt{f(x)}\leq g(x)&\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&\geq&0\\ f(x)&\leq&(g(x))^{2} \end{array}\right.&\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&\geq&0\\ g(x)&\geq& 0\\
f(x)&\leq&(g(x))^{2} \end{array}\right.&\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&\geq&0\\ g(x)&\leq& 0\\
f(x)&\leq& (g(x))^{2}\\ \end{array}\right.\\ \hline 5&\text{L'équation }\sqrt{f(x)}\leq=-x a&\phi&0\ ;\ 1&0\ ;\ -1\\ &\text{pour ensemble de }&&&\\ &\text{solution :}&&&\\ \hline \end{array}$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $1+\sqrt{3x^{2}+2x-1}=-x$

b. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}\geq 5x-1$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode de pivot de Gauss le système :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} -x+2y+z&=&1\\ -2x+3y+z&=&1\\ 4x+y+2z&=&8  \end{array}\right.$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
2x+xy+2y&=&11\\ 3x+2xy+3y&=&18 \end{array}\right.$

Indication : Déterminer d'abord la valeur numérique de la somme $S=x+y$ et celle du produit $P=xy$

Exercice 3

1. Soit l'application $f$ de $\mathbb{R}\ 2$ vers $\mathbb{R}\ 2$ définie par :
$$f(x)=\dfrac{4x-1}{2x-4}$$

$f$ est – elle surjective ?

2. Soit l'application $g$ de $\mathbb{R}$ vers $[1\ ;\ +\infty]$ définie par : $g(x)=2x^{2}+1$ $g$ est - surjective ?

3. Soit $P$ l'application définie sur $I=]-\infty\ ;\ 2]$ par : $p(x)=\sqrt{2-x}+1$

 a.Montrer $p$ est bijective de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer.

b. Pour tout $x\in J$, déterminer $P^{-1}(x)$, avec $P^{-1}$ la bijection réciproque de $p$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=8$, $I$ milieu de $[BC]$ et $\overbrace{CAB}=\dfrac{\pi}{3}$

1.a. Faire une figure

2.b. Montrer que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24$

c. Calculer $BC$ sachant que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^{2}-AC^{2}-BC^{2}\right)$

2. Soit $H=\text{bar}{(A\;,5)\ ;\ (C\;,3)}$ et  pour tout point $M$ du plan on pose $f(M)=5MA^{2}+3MC^{2}$

a. Montrer que pour tout point $M$ du plan : $f(M)=8MH^{2}+120$

b. Déterminer l'ensemble $\varepsilon)$ des points $M$ du plan vérifiant : $f(M)=336$

c. Vérifier que $B\in (\varepsilon)$ et construire $(\varepsilon)$