Composition de mathématiques du 1er semestre Ts1 2024-2025

Exercice 1

Les questions $1.2.3$ et $4$ sont indépendantes

1.a. Donner la forme algébrique de $\left(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{3}$

b. Déterminer dans $\mathbb{C}$ les solutions de l'équation $(E)\ :\ z^{3}=4\sqrt{2}\left(-1-\mathrm{i}\right)$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique

c. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$

2. Dans le plan complexe est muni d'un repère orthonormé, on considère les points :

Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont alignés ssi $a\left(\overline{b}-\overline{c}\right)+b\left(\overline{a}-\overline{c}\right)+c\left(\overline{a}-\overline{b}\right)=0$

3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\;,\vec{v}\right)$

Soit $\theta\in]0\ ;\ \pi[$, $A(2)$, $M\left(1+\mathrm{e}^{i\theta}\right)$ et $N\left(1-\mathrm{e}^{i\theta}\right)$

a. Montrer que $Z_{M}=2\cos\dfrac{\theta}{2}\mathrm{e}^{i\dfrac{\theta}{2}}$ et $Z_{N}=2\sin\dfrac{\theta}{2}\mathrm{e}^{i\dfrac{\theta-\pi}{2}}$

b. Montrer que $OMAN$ est un rectangle

c. Déterminer la valeur de $\theta$ pour que $OMAN$ soit un carré

4. Soit $A$, $B$ t $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$

a. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ pour que l'application : $f\ :\ z\rightarrow\,az+\beta$ soit associée à et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$

b. Quelle relation doit il existe entre $a$, $b$ et $c$ pour que $C$ soit le transformé de $B$ dans cette rotation ?

Exercice 2

Partie A : 

L'unité choisie est le $cm$

Soit $ABC$ un triangle rectangle et isocèle en $A$ de hauteur $[AH]$ tel que $AH=BH=4$

1. Placer $G=\text{ bar }(A\;,2)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (C\;,1)$

2. Soit $M$ un point du plan et $\vec{u}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$

a. Démontrer que $\vec{u}$ est un vecteur de norme $8$

b. Déterminer et construire l'ensemble $\left(E_{1}\right)$ des points $M$ du plan tels que $\left|\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\right|=8$

3. Soit le système $(A\;,2)\ ;\ (B\;,n)\ ; \ C\;,n)\ ;\ n\in N^{\ast}$ et $\left(E_{n}\right)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\left|\left|2\overrightarrow{MA}+n\overrightarrow{MC}+n\overrightarrow{MC}\right|\right|=8\,n$

a. Montrer que ce système admet un barycentre $G_{n}$, placer $G_{2}$

b. Calculer la limite de $AG_{n}$ en $+\infty$ puis préciser la position limite de $G_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$

c. Déterminer $\left(E_{n}\right)$ et montrer que $A\in\left(E_{n}\right)$

d. Construire $\left(E_{2}\right)$

Partie B : 

Soit une droite $(D)$ muni d'un repère $\left(O\ ;\ \vec{i}\right)$, $A_{0}$ et $B_{0}$ sont les points d'abscisses respectives $-4$ et $3.$

Pour tout entier naturel $n$ on note $A_{n+1}$ le barycentre $\left(A_{n}\;,1\right)$ et $\left(B_{n}\;,1\right)$ puis $B_{n+1}$ le barycentre de $\left(A_{n}\;,3\right)$ et $\left(B_{n}\;,2\right)$

1. Placer les points $A_{0}$ $A_{1}$, $B_{0}$ et $B_{1}$

2. Les points $A_{n}$ et $B_{n}$ ont pour abscisses respectives $a_{n}$ et $b_{n}$

Ainsi $\alpha_{0}=-4$ et $b_{0}=3$

Démontrer que pour tout $n$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{5}\left(a_{n}+4b_{n}\right)$ et $b_{n+1}=\dfrac{1}{5}\left(3a_{n}+2b_{n}\right)$

3.a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $3a_{n}+4b_{n}=0$

c. En déduire que $a_{n+1}=-\dfrac{2}{5}a_{n}$ et $b_{n+1}=\dfrac{2}{5}b_{n}$

d. Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$

b. Interpréter ce résultat à l'aide des points $A_{n}$ et $B_{n}$

Problème

I. Partie A :

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(1+x)\left(1+\mathrm{e}^{1-x}\right)$

On note $\left(C_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ d'unité  $2\,cm$

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=1-x\mathrm{e}^{1+x}$

Déduire des variations de $g$ le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$

2.a Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$

b. Étudier les branches infinies de $f$

c. Étudier les variation montrer que $f$, montrer que $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$  $f^{-1}$ est-elle dérivable en $4$ définie sur $\mathbb{R}$ $f^{-1}$ est-elle dérivable en $4$ ?

d. Étudier la position de $\left(C_{f}\right)$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse  $1.$

e. Construire, dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ , les courbes $\left(C_{f}\right)$ et $\left(C_{f^{-1}}\right)$ (courbe représentative de $f^{-1}$ )ainsi que les droites $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ d'équations respectives : $y=x+1$ et $y=x-1$

Partie B

1.a. Montrer que l'on a $f(x)=x$ ssi, : $x<-1$ et $\ln(-1-x)-x+1=0$

b. Étudier la fonction $h\ :\ ]-\infty \ ;\ -1[\rightarrow$ définie par : $h(x)=(-1-x)-x+1=0$

En déduire que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution réelle $\alpha$

2.a Comparer $f(x)$ et $x$ pour $x=-1$

En déduire que si $-2\leq x\leq -1$ alors $-2\leq f^{-1}(x)\leq -1$

b. Déduire de la question précédente que si $-2\leq f^{-1}(x)\leq -1$

b. Déduire de la question précédente que si $-2\leq x\leq -1$ alors :
$$\dfrac{1}{1+2\mathrm{e}^{3}}\leq \left(f^{-1}\right)'(x)\leq \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{2}}$$

c.  Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie par $U_{0}=-1$ et $U_{N+1}+f^{-1}\left(U_{n}\right)$ pour $n\geq 0$

Démontrer que :
$$\left|U_{n+1}-\alpha\right|\leq \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{2}}\left|U_{0}-\alpha\right|$$

En déduire : $\left|U_{n}-\alpha\right|\leq \dfrac{1}{\left(1+\mathrm{e}^{2}\right)^{n}}\left|U_{0}-\alpha\right|$

Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite

II. Soit $k$ la fonction numérique définie par $k(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x}$

On pose $I=\int_{0}^{\dfrac{1}{2}}k(x)dx$

1. Vérifier que $\forall x\in \mathbb{R}{1}\;,\dfrac{1}{1-x}=1+x^{2}+x^{3}+\ldots +x^{n-1}+\dfrac{x^{n}}{1+x}$

2. En déduire que :

$I=\sum_{j=0}^{n-1}\left(\int_{0}^{\dfrac{1}{}}x^{j}\mathrm{e}^{x}dx\right)+\int_{0}^{\dfrac{1}{}}\dfrac{x^{n}\mathrm{e}^{x}}{1-x}dx$ ;

3. Montrer que $\forall\in \left[0\ ;\ \dfrac{1}{2}\right|$ ; $1\leq k(x)\leq 2\sqrt{\mathrm{e}}$

4. En déduire que :

$\sum_{j=0}^{n-1}\left(\int_{0}^{\dfrac{1}{2}}x^{j}\mathrm{e}^{x} dx\right)+\dfrac{1}{(n+1)2^{n+1}}\leq I\leq \sum_{j=0}^{n-1}\left(\int_{0}^{n-1}x^{j}\mathrm{e}^{x} dx\right)+\dfrac{2\sqrt{\mathrm{e}}}{(n+1)2^{n+1}}$