Composition du premier semestre 1L 2024-2025

Exercice 1 :

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&1\\ -x+3y&=&1
\end{array}\right.$

2. Résoudre par le méthode du pivot de Gauss le système suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+2z&=&5\\ 2x+2y-z&=&3\\ -x+3y+z&=&8 \end{array}\right.$

Exercice 2

1. Recopier puis compléter

a. Un nombre réel $\alpha$ est une racine d'un polynôme $p(x)$ lorsque $\ldots\ldots\ldots$

b. Si $\alpha$ est une racine d'un polynôme $p(x)$, alors $p(x)$ est factorisable par $\ldots\ldots\ldots$ et il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $p(x)=\ldots\ldots\ldots$ avec $d°Q=\ldots\ldots\ldots$

2. On considère le polynôme $p(x)$ défini par : $p(x)=-2x^{3}+x^{2}+8x-4$

a. Montrer que $2$ est une racine de $P$

b. En utilisant la méthode de la division euclidienne ou d'identification  des coefficients, montre que $P(x)=(x-2)\left(-2x^{2}-3x+2\right)$

c. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$ puis l'inéquation $P(x)\geq 0$

Exercice 3 :

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=-x^{3}+4x$

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f$

2.a. Déterminer l'image de $1$ par $f$

b. Déterminer les antécédents de $0$ par $f$

4. On considère les fonctions $g$ et $h$ définies respectivement par : $g(x)=\dfrac{x^{2}-5x+7}{x-2}$ et $h(x)=\sqrt{2x-6}$

a. Déterminer l'ensemble de définition $D_{g}$ de $g$

b. Déterminer l'ensemble de définition $D_{h}$ de $h$