Cours les coniques chapitre II 1er B

1. Différentes approches des <<coniques>>

Au cours d'analyse vous avez vu que les courbes représentative des fonctions du second degré $f(x)=ax^{2}+bx+c$ sont appelés <<paraboles>> et que celles de certains fonctions homographiques $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ sont appelées<<hyperboles>>.

Vous savez également que le cercle de centre $\Omega(a\;,b)$ et de rayon $r$ est le lieu géométrique des points $M(x\;,y)$ dont les coordonnées vérifient l'équation du second degré $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Par ailleurs tout le monde a entendu parler de ces <<cercles aplatis>> qu'on appelle <<ellipses>>$\ldots$

Toutes ces courbes, qui sont connues et ont été étudiées depuis l'antiquité pour le rôle important qu'elles jouent en physique (en particulier en astronomie), définies comme astronomies), définies comme l'intersection d'un double côté infini et d'un plan :

$\blacktriangleright$ Soient $a$ et $d$ deux droites dans l'espace sécantes en $O$ en forment un angle un angle aigu $\theta$

En faisant tourner d'autour de $a$ $\text{(en gardant touyours le même angle) }\theta$ on obtient

une surface dans l'espace appelée double cône infini d'axe $a$ de génératrice (voir figure page suivante)

$\blacktriangleright$ En coupant ce double cône avec un plan $\alpha$ on obtient (suivant la position du plan par rapport à la droite $a$,

soit un cercle, une ellipse, une parabole ou une

hyperboles, appelés coniques, soit le point $O$, une droites ou deux droites sécantes, appelés coniques dégénérées

Essayez de <<voir>> comment obtenir chacune de  ces figures !

Sur la figure suivantes, $1$ représente une parabole, $2$ un cercle et une ellipse et $3$ une

hyperbole :

Cette approche, qui a donné leur nom aux <<conique>>, en allemand <<kegelschnitt>>, en anglais <<conic section >>, est cependant un peu difficile à mettre en œuvre quand on veut obtenir des propriétés plus précises de ces figures puisqu'il faut travailler dans l'espace !

Dans cet chapitre nous verrons trois autres approches des coniques :

$\blacktriangleright$ Nous définirons tout d'abord $\text{(paragraphes }2\text{ à }6)$ les coniques comme lieu géométrique des points dans le plans vérifiant une certaine équation appelée équation focal: cette approche , moins générale que la première, donne uniquement les ellipses (mais pas le cercle !), les paraboles et les hyperboles, c'est-à-dire des corniques non dégénérées.

$\blacktriangleright$ Nous abonderons ensuite paragraphe $7$, uniquement par des exemples (sans présenter la théorie complète), les coniques comme courbes algébriques du second degré.

Cette approche algébrique des comiques est aussi générale que la première : elle couvre toutes les coniques, dégénérées ou non.

$\blacktriangleright$ Pour faire paragraphe $8$ nous verrons une autre approche géométrique, la définition <<bifocale>> qui n'est cependant valable que pour tout les ellipses et les hyperboles.

2. Équation focale d'une conique

a. Définitions

Soient un point $F$ et une droite $d$ dans le plan et $\varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$

Le lieu géométrique $\Gamma$ des poins $P$ du plan qui vérifient l'équation $PF=\varepsilon\cdot Pd$ est appelé conique de foyer $F$, de directrice $d$ et d'excentricité $\varepsilon$

Cette équation est appelée équation focale de $\Gamma$
$$\Gamma={P/PF=\varepsilon\cdot Pd}$$

De plus :

$\bullet\ $Si $0<\varepsilon<1$, alors $\Gamma$ est appelée ellipse

$\bullet\ $si $\varepsilon=1$, alors $\Gamma$ est appelée parabole

$\bullet\ $si $\varepsilon>1$, alors $\Gamma$ appelée hyperbole

b. Exploration à l'aide de GEOGEBRA

$\bullet\ $Construisez $d$, $F$ et deux curseurs $\varepsilon$ et $s$

$\bullet\ $L'ensemble des points $O$ tels que $Pd=s$ est constitué de deux droites $a$ et $b$ parallèles à $d$

Pour construire celles-ci on peut construire successivement :

$\bullet\ $un point $Q\in d$

$\bullet\ $le cercle $C$ centre $Q$ et de rayon $s$

$\bullet\ $La droite $m$ passant par $Q$ et perpendiculaire à $d$

$\bullet\ $les deux points d'intersection $I$ et $J$ de $m$ et du cercle $C$

$\bullet\ $Les droites $a$ et $b$ passant $I$ et $J$ respectivement et parallèles à $d$

$\bullet\ $afin de rentre la figure plus lisible on <<cache>> les objets $Q$, $I$, $J$, $C$ et $m$

$\bullet\ $L'ensemble des points $P$ tels que $PF=\varepsilon\cdot s$ est le cercle de centre $C'$ de centre $F$ et de rayon $\varepsilon\cdot s$

$\bullet\ $L'ensemble des points $P$ tels que $PF=\varepsilon\cdot Pd$ sont les points d'intersection de $C'$ et des droites $a$ et $b$ $\text{(il y en a }0,1,2\text{ ou }4\text{ suivant les valeurs de }s\text{ et de }\varepsilon)$

$\bullet\ $Pour obtenir le lieu cherché $\Gamma$ on fait varier le nombre $s$ en laissant le nombre $\varepsilon$ fixe.

$\bullet\ $En utilisant la commande <<lieu>> on peut obtenir tout de suite $\Gamma$ pour un $\varepsilon$ fixe

$\bullet\ $En utilisant la commande <<lieu>> on peut obtenir tout de suite $\Gamma$ pour un $\varepsilon$ donné de la manière suivante :

$\bullet\ $On commence par $\varepsilon$ et $s$ de telle manière à avoir $4$ points d'intersection

$\bullet\ $Pour chacun de ces $4$ points on utilise la commande <<lieu>> un cliquant d'abord sur le point puis sur le curseur $s$ : on obtient $4$ lieux dont la réunion est la courbe $\Omega$

$\bullet\ $Exemple 1 : $\varepsilon=1$ $(\Gamma\text{ est une parabole })$

$\bullet\ $Exemple 2 : $\varepsilon=0.8(\Gamma\text{ est une ellipse )}$

$\bullet\ $Exemple 3: $\varepsilon=1.2(\Gamma\text{ est une hyperbole })$

3. Axe focale de $\Gamma$

a. Définition

On appelle axe focal de $\Gamma$ la droite $m$ passant par le foyer $F$ et orthogonale à la directrice $d$

Remarque : $Fd$= distance de $F$ à $d=FD$ où $D\in m\cap d$

b. Propriété

L'axe focal $m$ de $\Gamma$ est un axe de symétrie de $\Gamma$

démonstration :

Soit $S_{m}$ la symétrique d'axe $m$, $P$ n point du plan, on notera $P'=S_{m}(P)$ le symétrique de $P$ par rapport à $m$

Alors $S_{m}(F)=F$ car $F\in m$ et $S_{m}(d)=d$ car $d\perp m$, et comme $S_{m}$ conserve les distances, $PF=P'F$ et $Pd=P'd$

D'où : $PF=\varepsilon\cdot Pd\Leftrightarrow\,P'F=\varepsilon\cdot P'd$,

C'est-à-dire : $P\in \Gamma\,P'\in\Gamma.$

Par conséquent $S_{m}(\Gamma)=\Gamma$ et $m$ est bien un axe de symétrie de $\Gamma$

4. Sommets de $\Gamma$

a. définition

Les points d'intersection de l'axe focal $m$ et de la conique $\Gamma$ sont appelés sommets de $\Gamma$

Remarques :

$\bullet $Nous verrons plus loin que pour ellipses il existe d'autres points qu'on appelle également <<sommet>>

$\bullet\ P\in m\cap \Gamma\leftrightarrow\,P\in m$ et $PF=\varepsilon\cdot PD$ car pour tout $P\in m$ $Pd=PD$

Notation : dans la suite noterons $S$ le milieu de $[FD]$

b. Sommet d'une parabole

Soit $\Gamma$ une parabole, alors : $P\in m\cap \Gamma\leftrightarrow\,P\in m$ et $PF=PD\leftrightarrow\,P=S$, et par conséquent $\Gamma\cap m\,m{S}$

Ainsi une parabole n'a qu'un seul sommet et ce sommet est le milieu $S$ de $[FD]$

c. Sommets 'une ellipse et d'une hyperbole

i. Préliminaires

Soit $\Gamma$ une conique d'excentricité $\varepsilon\neq 1$, alors :

$\begin{array}{lcr} P\in m\cap \Gamma\Leftrightarrow\,P\in m \text{ et }PF=\varepsilon\cdot PD\\
\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{rcl} \overline{PF}=-\varepsilon\overline{PD}(1)\text{ si }\overline{PF}\text{ et }\overline{PD}\text{ sont de sens opposés},c\text{ à }d\text{ si }P\in[DF]\\ \text{ ou }\\ \overline{PF}=\varepsilon\overline{PD}(2)\text{ si }\overline{PF}\text{ et }\overline{PD}\text{ on le même sens, }c\text{ à }d \text{ si }P\in[DF] \end{array}\right.\\ \text{De plus :}(1)\Leftrightarrow\overline{PD}+\overline{DF}=-\varepsilon\overline{PD}\Leftrightarrow(1+\varepsilon)\overline{FD}\Leftrightarrow\overline{DP}=\dfrac{1}{1+\varepsilon}\overline{DF}\\ \text{ or }D\;,F\text{ et }\varepsilon\text{étant fixes,ilexiste un seul point }S_{1}\in m\text{ tel que :} \end{array}$
$$\boxed{\overline{DS_{1}}=\dfrac{1}{1+\varepsilon}\overline{DF}}(3)$$

De même $(2)\leftrightarrow\overline{PD}+\overline{DF}=\varepsilon\overline{PD}\leftrightarrow\,\underbrace{(1-\varepsilon)}\lim_{\neq 0\text{ car }\varepsilon\neq 1}\overline{PD}=\overline{FD}\leftrightarrow\,\overline{DP}=\dfrac{1}{1-\varepsilon}\overline{DF}$, donc il existe également un seul point $S_{2}\in m$ tel que :
$$\overline{DS_{2}}=\dfrac{1}{1-\varepsilon}\overline{DF}(4)=$$

Ainsi pour les ellipses et les hyperboles $\text{(c'est-à-dire les coniques d'excentricité }\varepsilon\neq 1)$ on a :$\Gamma\cap m ={S_{1}\;,S_{2}}$ où les sommets $S_{1}$ et $S_{2}$ sont définis par $(3)$ et $(4)$

Désignons par $O$ le milieu de $\left[S_{1}\;,S_{2}\right]$, alors $O$ est appelé centre de la conique $\text{(ce terme sera justifié page }17)$ et il vient :

$\overline{DS_{1}}=\dfrac{1}{1+\varepsilon}\overline{DF}\Leftrightarrow\overline{DO}+\overline{OS_{1}}=\dfrac{1}{1+\varepsilon}\overline{DF}(5)$, et comme $\overline{OS_{2}}=-\overline{OS}_{1}$ on aussi :

$\overline{DS_{2}}=\dfrac{1}{1-\varepsilon}\overline{DF}\Leftrightarrow\overline{DO}+\overline{OS_{2}}=\dfrac{1}{1-\varepsilon}\overline{DF}\Leftrightarrow\overline{DO}-\overline{OS_{1}}+\dfrac{1}{1-\varepsilon}\overline{DF}(6)$, d'où :

$(5)+(6)\ :\ 2\overline{DO}=\left(\dfrac{1}{1+\varepsilon}+\dfrac{1}{1-\varepsilon}\right)\overline{DF}\Leftrightarrow\,2\cdot\overline{DO}=\dfrac{1-\varepsilon+1+\varepsilon}{(1+\varepsilon)(1-\varepsilon)}\overline{DF}$, d'où :
$$\overline{DO}=\dfrac{1}{1-\varepsilon^{2}}\overline{DF}(7)$$

ii. Positions relatives de $D$, $F$, $S_{1}$, $S_{2}$ et $O$ :

d'après les égalités $(3)$, $(4)$, et $(7)$ ces positions dépendant des coefficients $\dfrac{1}{1+\varepsilon}$

$\dfrac{1}{1-\varepsilon}$ et $\dfrac{1}{1-\varepsilon^{2}}$ qui dépendent eux-même de $\varepsilon$ il faut donc distinguer deux cas :

$1^{er}$ cas :$0<\varepsilon<1(\Gamma\text{ est une ellipse})$

$\bullet\ 0<\varepsilon<1\Leftrightarrow\,1<+\varepsilon<2\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{1+\varepsilon}<1$

et comme $\overline{DS}=\dfrac{1}{2}\overline{DF}$ ; $\overline{DS_{1}}=\dfrac{1}{1+\varepsilon}\overline{DF}$ et $\overline{DF}=1\cdot\overline{DF}$, on a:
$$S_{1}\in]S\;,F[$$

$\bullet\ 0<\varepsilon<1\Leftrightarrow-1<-\varepsilon<0\Leftrightarrow\,0<1-\varepsilon<1\varepsilon\dfrac{1}{1-\varepsilon}>1$

et comme $\overline{DS_{2}}=\dfrac{1}{1-\varepsilon}\overline{DF}$ et $\overline{DF}=1\cdot\overline{DF}$, on voit que $S_{2}$ est <<à droite>> de $F$ sur la figure page $7$ donc $F\in]D\;,S_{2}[$