Évaluation à preuve standardises du second semestre TS2 - 2024-2025

Épreuve :mathématique 

1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. 

Compléter les propriétés sur les modules et arguments suivants :
 
a. $\left|2^{2}\right|=\ldots\;,n$  un entier naturel ;   

c.  Si $z'$ est non nul, alors $\left|\dfrac{x}{x'}\right|=\ldots$

b. $arg\left(z^{n}\right)=\ldots\;,n$ un entier naturel  ; 

d.  Si $z'$ est non nul, alors $arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\ldots$

2. Rappeler la formule de Moivre.                                                                                             
 
3. On considère le polynôme suivant :

a. Montrer que $2$ est solution de $P(z)$ Résoudre dans $\mathbb{C}\;,P(Z)=0$
                     
4. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$

a. Placer les points $A$,$B$ et $D$ d'affixes respectives $Z_{A}=-2-2\vec{i}$, $Z_{B}=2$ et                                                              $Z_{D}=-2+2\vec{i}$

b. Calculer l'affixe $Z_{C}$ du point $C$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.                           

5. On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe $M'$ d'affixe : 

a. Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $f(x)=z$

b. Donner la nature de $f$ et préciser ses éléments caractéristiques.                                 
 
c. Donner une écriture analytique de $f$
                                                                        
d. Déterminer l'image de $(D)\ :\ y=2x-1$ par $f$

e. Déterminer l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $\left|\left(\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}\right)z-2+2\mathrm{i}\right|=\sqrt{2}$

Exercice 2
 
Partie : A
 
1. Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$ avec
les probabilités respectives $P_{1}$, $P_{2}$, $\ldots$, $P_{n}$

Rappeler les formules de l'espérance mathématique de $X$ et de la variance de $X$
  
2. On considère la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous : 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{1}&0&1&2&3&4\\ \hline P_{1}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{5}{18}&\dfrac{1}{3}&\alpha-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{18}\\ \hline \end{array}$

a. Calculer la valeur de $\alpha$

b. On suppose que $\alpha=\dfrac{2}{3}$, calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de $X$

c. Définir et représenter la fonction de répartition. 
 
Partie B :
 
On dispose d'un dé cubique homogène dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ et $3$ urnes $U$, $V$ et $W$

L'urne U contient $2$ boules (1$1$ branche, $1$ rouge), l'urne $V$ contient $3$ boules ($1$ branche, $2$ rouges) et l'urne $W$ contient $3$ boules rouges. 

On lance d'abord le dé et on note le numéro obtenu : s'il est inférieur à $3$ on tire une boule de $U$, s'il est supérieur à $3$ on 
tire une boule de V et s'il est égal à $3$ on tire une boule de $W$
 
Soit $B$ : l'évènement « la boule tirée est blanche » et $R$ : l'évènement « la boule tirée est rouge ». 

1. Montrer que $P(B)=\dfrac{1}{3}$ et calculer $P(R)$

2. On effectue successivement $3$ tirages dans les mêmes conditions en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au  nombre de boules branches obtenues à chaque série de $3$ tirages.
 
a. Donner la loi de probabilité de $X$
                                                                             
b. Déterminer $E(X)$, l'espérance mathématique de $X$
 
3. On effectue une de n tirages dans les mêmes conditions. 

a. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche.           
 
b. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle cette probabilité est supérieur à $\dfrac{8}{9}$
       
Problème 
 
On considère la fonction $f$ définie par :  $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 1+x\ln x&\text{ si }&x&>&0\\
(1-2x)\mathrm{e}^{2x}&\text{ si }&x&\leq&0\end{array}\right.$

1. Montrer que $D_{f}=\mathbb{R}$

2. Calculer les limites aux bornes de $Df$

3. Étudier la branche infinie de $f$ en $+\infty$

4. Étudier la continuité de $f$ en $0$
                                                                                            
5. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$

Interpréter les résultats.                                 

6. Calculer $f'(x)$ sur chacun des intervalles ou $f$ est dérivable.                                     
 
7. Étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variation.
 
8. Soit $h$ la restriction de $f$ sur $]-\infty\ ;\ 0[$
 
a. Montrer que ℎ réalise une bijection sur $]-\infty\ ;\ 0[$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera.

b. Dresser le tableau de variation de $h$
                                                                                 
8. Tracer les demi-tangentes puis construire $C_{f}$ de $f$ et la courbe $\left(C_{h}^{-1}\right)$ de $h^{-1}$ réciproque de $h$  d'unité graphique $(2\,cm)$ dans un