Bac blanc - TS1 2023/2024

Épreuve mathématiques

Exercice 1 

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.

Partie A

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ ; $2$ et $3$ avec les probabilités $a$ , $b$ et $\dfrac{3}{10}$ respectivement.

On suppose que l'espérance mathématique $E(X)=\dfrac{11}{5}$

1. Déterminer $a$,et $b$ et la variance de $V(X)$

2. Soit $A$, $B$ et $C$ les points d'abscisses respectives $1$ ; $2$ et $3$ d'une droite graduée $(\Delta)$

a. Calculer l'abscisse du point $G$ barycentre ${(A\;,1)\ ;\ (B\;,2)\ ;\ (C\;,4)}$

b. On pose $\varphi(M)=\dfrac{1}{7}\left(MA^{2}+2MB^{2}+4MC^{2}\right)$ ou $M$ est un point de $(\Delta)$

Calculer que $\varphi(G)$

c. Déterminer l'ensemble des points $M$ de $(\Delta)$ tels que $\varphi(M)=3$

Partie B

Moussa Kadam élève en $TS1$ a en charge la vente des tickets de tombola à l'occasion des journées culturelles du lycée de Yénne. 

Il dit aux élèves de $6e$ qu'un ticket sur trois est
gagnant.

Amadou un élève de $6e$ suggère alors à ses camarades de classe d'acheter trois tickets. 

« Je suis sûr qu'on gagnera en achetant trois tickets » leur dit-il.

Mais sa camarade Amy lui rétorque que ce n'est pas sûr de gagner.

En utilisant les outils de mathématiques de la classe de terminale $S$, aide ces deux camarades à savoir qui a raison.

Exercice 2

1. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\  29x-13y=6$

a. Déterminer l'entier $\beta$ pour que le couple $(\beta\;,4)$ soit une solution de $(E).$

b. Résoudre dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E)$

2. Soit dans $\mathbb{Z}$ l'équation $x^{19}\equiv-2[29]$

a. Justifier que $2^{28}\equiv1[29]$ en déduire que $-8$ est solution de $\left(E'\right)$

b. Soit $x_{0}$, une solution de $\left(E'\right)$

b.1 Montrer que $x_{0}$ n'est pas un multiple de $29.$

b.2. En déduire alors que $x_{0}^{57}\equiv-8[29]$

b.3 Montrer que : $x_{0}^{57}\equiv -8[29]$puis que $x_{0}=-8\equiv[29]$

c. En déduire l'ensemble des solutions dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $\left(E'\right)$

d. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(x-3)^{19}\equiv-2[29]$

4. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} (x-3)^{19}\equiv-2[29]\\ (x-3)^{19}\equiv-2[13] \end{array}\right.$

Problème 

Soit $f$ la fonction définie par : $f\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} \mathbb{R}&\rightarrow&\mathbb{R}\\x&\mapsto&\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \end{array}\right.$ et $(C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

A.1. Dresser le tableau de variation de $f.$

2. Déterminer les branches infinies de $f$ et tracer $(C).$

3. Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$

4. Tracer la courbe $\left(C'\right)$ représentative de la fonction réciproque $f-1$ de $f.$

5. Expliciter $f^{-1}$ la fonction réciproque de $f$ pour $x>0$

6. Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{e^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$

7. Soit $\lambda$ un réel strictement négatif.

Calculer l'aire $A(\lambda)$ du domaine délimité par la courbe $\left(C'\right)$, l'axe des ordonnées et les droites d'équation respectives : $y=\lambda$ et $y=0$

B. Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour réel $x$ négatif, on pose :

$F_{n}(x)=\int_{x}^{0}\dfrac{\mathrm{e}^{nt}}{1+\mathrm{e}^{t}}dt.$

Calculer $F_{1}(x)$et déduire que $\lim\limits_{x\longrightarrow\;,-\infty}F_{1}(x)=\ln2.$

2. Calculer la limite en $-\infty$ de $F_{2}(x).$

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :

$F_{n+1}(x)+F_{n}(x)=\dfrac{1}{n}\left(1-\mathrm{e}^{nx}\right)$

4. Montrer par récurrence sur $n$ que : $F_{n}(x)$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $-\infty$

Dans la suite du problème on pose : $R_{n}=\lim\limits_{x\longrightarrow\;,-\infty}F_{n}(x)$

5. Vérifier que pour tout réel $t\leq 0\;,2\mathrm{e}^{t}\leq 1+\mathrm{e}^{t}\leq 2$

6. Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 0$ et pour tout réel $x\leq 0$, on a : $\dfrac{1}{2n}\left(1-\mathrm{e}^{nx}\right)\leq F_{n}(x)\leq\dfrac{1}{2(n-1)}\left(1-\mathrm{e}(n-1)x\right)$

7. En déduire un encadrement de $R_{n}$ pour $n\geq 2$

8. Pour tout réel $x$ négatif et pour tout entier naturel non nul $n$, on pose :

$G_{n}(x)=(-1)^{n}\int_{x}^{0}\mathrm{e}^{nt}dt$

a. Calculer $G_{n}(x)$ et montrer que  $\lim\limits_{x\longrightarrow\;,-\infty}G_{n}(x)=\dfrac{(-1)^{n}}{n}$

b- Montrer que $G_{1}(x)+G_{2}(x)+\ldots+G_{n}(x)=F_{1}(x)+(-1)^{n}F_{n+1}(x)$

9. On pose, pour tout entier naturel non nul $n$, $U_{n}=\Sigma_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}$

a.  Montrer que $U_{n}=\ln2+(-1)^{n+1}R_{n+1}$

b. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ converge et trouver sa limite.