Évaluations standardises du second semestre - TS2  2023-2024

Épreuve de mathématiques

Exercice 1 :

Soit l'équation $(E)\ :\ z^{3}+(1-8i)z^{2}-(23+4i)z-3+24i=0$

1.a. Montre que $3i$ est une solution de $(E)$

b. Résoudre dans $C$ l'équation $(E)$

2. dans le plan rapporté a un repère orthonormé on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1+2i\;,3i$ et $-2+3i$

soit $D$ le barycentre des points pondéré $(A\;,1)$, $(B\;,-1)$  et $(C\;,1)$ 

a. Montrer que le point $D$ a pour affixe $-1+2i$

b. Montrer que la quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

3. On pose $U=\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{B}-z_{C}}$

a. Déterminer le module et un argument de $U$

b. Donner l'écriture complexe de la similitude plane directe qui laisse invariant le point $B$ et qui transforme $C$ en $A$

c. Préciser les éléments caractéristiques de $S$

Exercice 2

1. On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de $1$ à $6.$

On note $P_{1}$ la probabilité d'apparition de la face numérotée $i$ avec $i\in{1\;,2\;,\ldots\;,6}$ 

Le dé est pipé de sorte que $P_{3}=P_{2}=2P_{1}$ et $P_{6}=P_{5}=P_{4}=\dfrac{2}{3}P_{1}$

a. Montrer que $P_{1}=\dfrac{1}{7}$ puis calculer $P_{2}$, $P_{3}$, $P_{4}$, $P_{5}$, $P_{6}$

b. Déterminer la probabilité de l'événement $A=\text{<< la face apparue est un chiffre pair>>}$

2. On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ et du dé cubique au $1$ : $U_{1}$ contient $3$ boules vertes et $2$ boules jaunes : $U_{2}$ contient $4$ boules vertes et $3$ boules jaunes.

Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

On lance le dé, si un chiffre pair est sortie on tire simultanément $3$ boules dans $U_{1}$, sinon on tire simultanément $3$ boules dans $U_{2}$

Soit les évènements $U_{1}=\text{<< tirer trois boules dans l'urne }U_{1}>>$ ; 

$U_{2}=\text{<< tirer trois boules dans l'urne }U_{2}>>$ ; $B=\text{<< les }3\text{ boules tirées sont de la même couleur >>}$

a. Construire un arbre pondéré, puis déterminer la probabilité d'avoir un tirage unicolore.

b. Les évènements $B$ et $U_{1}$ sont-ils indépendants ? Justifier

c. Sachant que les  $3$ boules tirées sont de la même couleur, quelle est la probabilité qu'elles proviennent de l'urine $U_{2}$ ?

Problème 

Partie A 

Soit la fonction $g$ définie sur $]-\infty\ ;\ 0]$ par $(x)=\left(-x^{2}+x+1\right)\mathrm{e}^{-x-1}$

1. Étudier le sens de variation de $g$ sur $]-\infty\ ;\ 0]$

2. Calculer $g(0)$ puis en déduire le signe de $g(x)$ sur $]-\infty\ ;\ 0]$

Partie B 

Soit la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définies par : 

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \left(x^{2}+x\right)\mathrm{e}^{-x}-x+1&\text{ si }x\leq 0\\ \ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+x+1&\text{ si }>0 \end{array}\right.$

On note $\left(C_{f}\right)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ unité graphique $1\,cm$

1. Montrer que la domaine de définition de $f$ est $D_{f}=\mathbb{R}/{2}$

2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$, en déduire l'existence d'une asymptote $\left(C_{f}\right)$

3. En fonction des valeurs prises par $x$, exprimer $f(x)$ sans le symbole de valeur absolue.

4.a. Déterminer la nature  de la branche infinie à $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $-\infty$

b. Montrer que la droite $(D)\ :\ y=x+1$ est une asymptote à $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$

c. Étudier les positions de $\left(C_{f}\right)$ et de $(D)$ sur $]2\ ;\ +\infty[$

3.a. Étudier la continuité de $f$ en $0$

b. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0.$

Interprété le résultat obtenu.

6.a. Montrer que sur $]-\infty\ ;\ 0]$, $'(x)=g(x)$ en déduire le signe de $f'(x)$ sur $]-\infty\ ;\ 0]$

b. Montrer que sur les intervalles $[0\ ;\ 2[$ et $]2\ ;\ +\infty[f'(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}$, puis étudier son signe sur $[0\ ;\ 2[$ et sur $]2\ ;\ +\infty[$

c. Dresser le tableau de variation de $f$

d. Construire $\left(C_{f}\right)$, $f(3)=2.4$

Partie C 

Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]-\infty\ ;\ 0]$

1. Montrer que $h$ réaliser une bijection de $]-\infty\ ;\ 0]$ vers un intervalle $J$ à préciser.

2. Tracer dans le repère précédent $Ch^{-1}$