Olympiade ensae - Ts 2025

Exercice 1

Cet exercice est composé de parties dans une large mesure indépendantes

 
Partie 1

On désigne par $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.
 
On note $U=\lbrace z\in\mathbb{C}|z|=1\rbrace$  

On dit que $P\in\mathbb{C}[X]$ stabilise $U$ si $P(U)\subseteq U$

Soit $P=\sum_{k=0}^{n}\alpha_{k}X^{k}$ un polynôme de degré $n.$

Pour tout nombre complexe $z$, on définit $P(x)=\sum_{k=0}^{n}\alpha_{k}z^{k}$, qui correspond à la valeur de $P$ au point $z.$

On note :  

$$P^{\ast}(z)=\sum_{k=0}^{n}\overline{a_{n-k}}z^{k}$$
 
Montrer que, pour tout $z\in\mathbb{C}^{\ast}\;,P^{\ast}(z)=z^{n}\overline{P\left(\overline{z}^{-1}\right)}$

En déduire que $P$ stabilise $U$ si e seulement si $P=aX^{n}$ où $\alpha\in U$

Parie 2 :

Soit $n>2$

Montrer que les solutions de l'équation $1+z+z^{2}+\ldots+z^{n-1}-nz^{n}=0$

sont de module inférieur ou égal à $1$

Partie 3 :
 
On souhaite colorier tout le plan complexe à l'aide de trois couleurs : le vert, le jaune et le rouge.

Montrer par l'absurde qu'on ne peut pas effectuer ce coloriage de façon à ce que deux points du plan complexe situés à distance $1$ l'un de l'autre soient toujours de couleur différente
 
Indication : Montrez que deux points distants de $\sqrt{3}$ sont toujours de la même couleur.

Pour cela, construisez un losange, en utilisant le fait qu'un losange est constitué de deux triangles équilatérale accolés un même côté.

Partie 4 :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I\subset\mathbb{R}$ telle que : $\forall x\in I\;,(f(x))^{2}=1$
Montre que $f$ est constante

Partie 5:

Montrer que $\forall x\in]-1\;, 2[\;,\ln(1+x)\leq x\leq -\ln(1-x)$ et en déduire la limite de$$U_{n}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{np}\left(\text{ avec }p\in N\;,p\geq 2\right)$$

Exercice 2

Soit $n$ un entier naturel tel que $n\geq 2$
 
On se donne $n$ réels $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$ $x_{2}$  dans $[0\ ;\ 1]$

On pose : $s\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{n}\right)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\left|x_{j}-x_{i}\right|$

$x$ est donc la somme des distances entre les différents $x_{i}$
 
1. Montrer qu'on peut choisir $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$ de telle sorte que :

$-\ $Si $n$ est pair $(n=2m)$ alors $S\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{n}\right)=m^{2}$

$-\ $Si $n$ est impair $(n=2m+1)$  alors $S\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{n}\right)=m^{2}+m$

2. Montrer par récurrence que les valeurs ainsi obtenues sont en fait des maximums.

3. Montrer $S\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{2025}\right)$ est inférieure ou égale à un nombre que l'on déterminera.

4. Trouver $\vec{i}$ tel que $\S\left(_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{i}\right)\leq 1024144$

Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les trois points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ de coordonnées respectives $\left(x_{1}=O\;,y_{1}=0\right)$, $\left(x_{2}=1\;,y_{2}=1\right)$, $\left(x_{3}=-2\;,y_{3}=0\right)$

On va explorer différentes façons de trouver la meilleure droite qui passe au plus près des trois points $\left(M_{1}\;,M_{2}\;,M_{3}\right)$ formant un « nuage » de points.
 
On désigne par :
$-\ \delta$ une direction donnée du plan

$-\ D$une droite non parallèle à $\delta$, d'équation $y=ax+b$
 
On projette les points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ sur $D$ dans la direction $\delta.$

On note respectivement $N_{1}$, $N_{2}$, $N_{3}$

les points obtenus.

1. Dans cette question, la direction $\delta$ est celle de l'axe des ordonnées $Oy$
 
On cherche la droite $D$ rendant minimale l'expression $f(a\;,b)=M_{1}N_{1}+M_{2}N_{2}+M_{3}N_{3}$

a. Calculer les distances $M_{1}N_{1}$, $M_{2}M_{2}$ et $M_{3}N_{3}$

 
b. Dans cette question, le nombre réel $b$ est fixé.

En discutant suivant $b$, étudier la fonction $\varphi$ définie par $\varphi(x)=\left|12x-b\right|+|x+b-1|$
 
Montrer que l'application $\varphi$ passe par un minimum pour $x=\dfrac{b}{2}$

c. En déduire l'existence et l'unicité d'un couple $\left(a_{1}\;,b_{1}\right)$ minimisant $f(a\;,b)$

Identifier la droite d'équation $y_{1}=a_{1}x+b_{1}$

2. Dans cette question, la direction $\delta$ est encore celle de l'axe des ordonnées $OY$
 
On cherche la droite $D$ minimisant l'expression $g(a\;,b)=max\left(M_{1}N_{1}\ ;\  M_{2}N_{2}\ ;\ M_{3}N_{3}\right)$

a. On définit les trois ensembles suivants :

L'ensemble $E_{1}$ des points $M(x\;,y)$ du plan tels que $|y|\leq\dfrac{1}{3}$

$-\ $L'ensemble $E_{2}$ des points $M(x\;,y)$ du plan tels que $|y|\leq\dfrac{1}{3}$

$-\ $L'ensemble $E_{3}$ des points $M(x\;,y)$ du plan tels que $|y-2x|\leq\dfrac{1}{3}$
 
$-\ $Montrer que leur intersection $E_{1}\cap E_{2}\cap E_{3}$ se réduit au seul couple $\left(\dfrac{1}{3}\;,\dfrac{1}{3}\right)$

b. Prouver l'existence et l'unicité d'une droite $D$ minimisant $g(a\;,b)$

3. Dans cette question la direction $\delta$ est toujours celle de l'axe des ordonnées $Oy$
 
On cherche la droite $D$ rendant minimale $h(a\;,b)=\left(M_{1}N_{1}\right)^{2}+\left(M_{2}N_{2}\right)^{2}+\left(M_{3}N_{3}\right)^{2}$

Le nombre réel a étant fixé, montrer que la fonction $b\rightarrow\;,h(a\;,b)$ admet un minimum en un point unique que l'on précisera.

En déduire l'existence et l'unicité d'une droite $D$ minimisant $h(a\;,b)$

4. Dans cette question, $\lambda$ est un nombre réel donnée, distinct de $a.$
 
La direction $\delta$ est celle de la droite d'équation $y=\lambda x$

On cherche la droite $D$ minimisant l'expression $h_{\lambda}(a\;,b)=\left(M_{1}N_{1}\right)^{2}+\left(M_{2}n_{2}\right)^{2}+\left(M_{3}N_{3}\right)^{2}$
 
a. Exprimer $h_{\lambda}(a\;,b)$ en fonction de $a$, $b$, $\lambda$

b. Dans cette question, $\lambda$ est fixé et différent de $\dfrac{2}{7}$

$\alpha$ étant donné, pour quelle valeur de $b$ la fonction $b\mapsto h_{\lambda}(a\;,b)$  est-elle minimale ?

En déduire que $h_{\langle}(a\;b)$ est minimale lorsque $\theta(\alpha)=\dfrac{a\alpha^{2}-4\alpha+1}{\left(\alpha-\lambda\right)^{2}}$ est minimale.

c. Prouver l'existence et l'unicité d'un couple $\left(a_{4}\;,b_{4}\right)$ conduisant à la plus petite valeur possible pour $h_{\lambda}(a\;,b)$

On explicitera $a_{4}$ et $b_{4}$ en fonction de $\lambda.$
 
d. Montrer qu'une telle droite $D\text{(d'équation }y=ax+b)$ n'existe pas si  $\lambda=\dfrac{2}{7}$
 
5. Dans cette question, $n$ est un entier strictement positif.

On se donne un « nuage » de $n$ points $M_{k}\left(x_{k}\;,y_{k}\right)$, avec $1\leq k\leq n$
 
On suppose que les points $M_{k}$ne sont pas alignés sur une même droite.

On pose :

$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_{k}$,

$\overline{y}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} y_{k}$,

$\overline{x^{2}}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}$,

$\overline{y^{2}}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}$ et

$\overline{xy}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$

 
On définit également $v(x)=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}$,

$v(y)=\overline{y^{2}}-\left(\overline{y}\right)^{2}$ et

$cov(x\;,y)=\overline{xy}=\overline{x}\overline{y}$

Soit $N_{k}$ la projection de $M_{K}$ sur la droite $D$ d'équation $y=ax+b$ parallèlement à $Oy$

On se propose de trouver le couple $(a\;,b)$ minimisant l'expression $H(a\;,b)=\sum_{k=1}^{n}\left(M_{k}N_{k}\right)^{2}$

a. En considérant $\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-\overline{x}\right)^{2}$, montrer que $v(x)>0$

b. Quand on fixe $\alpha$, montrer que $H(a\;,b)$ est minimum quand $b=\overline{y}-a\overline{x}$

Calculer alors cette valeur en fonction de $\alpha$, $v(y)$, $v(x)$ et $cov(x\;,y)$

c.  Montrer alors que $\left(cov(x\;,y)\right)^{2}\leq v(x)v(y)$
 
d. En déduire l'unique couple $(a\;,b)$ minimisant la fonction $H.$

Quelle est la valeur de ce minimum ?  
 
Les droites étudiées ici jouent un rôle central en statistique car elles permettent de simplifier et d'interpréter des données complexes.

Elles ont pour objectif de trouver la « meilleure » droite qui passe au plus près de certains points dans un plan (nuage de points).

Ces points peuvent représenter des données issues de phénomènes réels, comme la relation entre l'âge d'une personne et sa taille.

Trouver cette droite permet de résumer ces données et de repérer une tendance générale, même si les points ne sont pas parfaitement alignés.

Cela peut servir à faire des prévisions (par exemple, estimer la taille d'une personne en fonction de son âge) ou à comprendre la relation entre l'âge et la taille.