Exercice 1

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

$A-$ On considère le polynôme $?$ défini par $?(?)=2?^{3}-5?^{2}-46?+24$
 
1. Vérifier que $6$ est racine de $?(?)$

2. En déduire une factorisation complète de $?(?)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $?(?)=0$

4. En déduire les solutions de :

Épreuve mathématique 

Exercice 1

1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
                                                                                                                                   
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$

Exercice 1

1) On donne le polynôme $P(x)=ax^{3}+bx^{2}-18x+c$ ; où $a$,$b$ et $c$ sont des réels.  

Exercice 1

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

I. On appelle $T$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x\;,y)$ associe le point $M'\left(x^{'}\;,y^{'}\right)$ tel que :   $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&x+y\\ y'&=&-x+y-1\end{array}\right.$

Exercice 1

Abdoulaye commence un nouvel emploi dans une entreprise.

Son salaire hebdomadaire augmente régulièrement chaque semaine, selon une progression arithmétique

On note $U_{n}$ le salaire de la $n$-ième semaine, en $FCFA$ Sachant que : 
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}U_{6}&=&12500\\u_{1}+U_{2}\ldots+U_{6}&=&60000\end{array}\right.$$

Exercice 1

Partie 1 :

1.a. Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide, deux entiers $a$ et $b$ tels que $31a+13b=1$

b. Déduire l'entier, inverse de $13$ modulo $31$ compris entre $1$ et $30$                                                                                           

EXERCICE 1
En détaillant les étapes du calcul, exprime en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 5$, $\ln 7$ les réels suivants :

\[
A = \ln\left( \frac{6e}{a} \right) \quad ; \quad B = \ln(4,2) \quad ; \quad C = \ln\left( \frac{7 \times 8}{e} \right) \quad ; \quad D = \ln(2e) - 2\ln 8
\]
\[
F = \ln\left( \frac{1}{11} \right) \quad ; \quad E = 3\ln\left( \frac{e}{e} \right) + \ln\left( \frac{1}{e} \right) + \ln\left( \frac{1}{\sqrt{e}} \right)
\]

Exercice 1

1. 1. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ tel que : $a+b=23$

a. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
 
b. En déduire $a$ et $b$ sachant que $a< b$  et $PPMC(a\;,b)=126$

2. Résoudre dans $Z^{2}$ l'équation $9u-14v=1$                                  

Exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$

1.a. Calculer le module et un argument de $1+i\sqrt{3}$

b. En déduire la forme algébrique de : $\left(1+i\sqrt{3}\right)$
                
 
2. On considère le polynôme $P$ défini par :