Concours

Exercice 1

1. Démontrer que, pour tout réel $x\in\mathbb{R_{+}}$ et pour tout $n\in\mathbb{R}$, on a :

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$

2. On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n.$

On les range toutes dans (chaque boite pouvant contenir de $0$ à $n$ boules).

a. Déterminer le nombre total $A_{n}$ de rangements possibles.

b. Déterminer le nombre total $B_{n}$ de rangements tels que chaque boite contienne exactement une boule.

3. On pose $P_{n}=\dfrac{B_{n}}{A_{n}}\;,\forall n\in\mathbb{N^{\ast}}$

Exercice 1