Concours

Épreuve de mathématique 

Exercice 1 :

Questions 1 : Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $|x+2|\leq 1$ et $0\leq y\leq 2$  $$\text{encadrer }x-y\text{ et }x(y+1)$$

Question 2 : Le plan est rapporté à un repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

Soit la droite $(D)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&2-t\quad ; t\in\mathbb{R}\\ y&=&-1+3t \end{array}\right.$

Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(D'\right)$ parallèle à $(D)$ et passant par $A(1\ ;\ -3)$

Exercice 1

Question 1 :

Simplifier en mettant sous forme $2^{m}\times 3^{n}\times 7^{p}$, ou $m$, $n$ et $p$ sont des entiers : $$A=\dfrac{14\times 3^{-2}\times 0.5\times \left(2^{-1}\right)^{-2}\times 7^{3}}{\left(7^{2}\right)^{-2}\times\left(2^{3}\times 7\right)^{-3}}$$

Question 2 :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|-x+2|\geq 3$ 

Question 3 : 

Pour chacune des questions de cette partie, mets une croix dans la case correspondant à la bonne
réponse.

Première partie (1 point par réponse juste)

Chaque candidate portera sur sa copie, le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie.

Aucun point ne sera enlevé pour une réponse fausse ou une absence de réponse

Première partie 

Chaque candidate répondra sur la feuille de réponses.

Aucun point ne sera enlevé pour une réponse fausse ou une absence de réponse.

Exercice 1

Pour chacun des énoncés ci-dessous, entoure la bonne réponse.

Exercice 1

1. Démontrer que, pour tout réel $x\in\mathbb{R_{+}}$ et pour tout $n\in\mathbb{R}$, on a :

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$

2. On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n.$

On les range toutes dans (chaque boite pouvant contenir de $0$ à $n$ boules).

a. Déterminer le nombre total $A_{n}$ de rangements possibles.

b. Déterminer le nombre total $B_{n}$ de rangements tels que chaque boite contienne exactement une boule.

3. On pose $P_{n}=\dfrac{B_{n}}{A_{n}}\;,\forall n\in\mathbb{N^{\ast}}$

Exercice 1