I. Etude de la fonction logarithme népérien

1. Définition et notation

La fonction logarithme népérien notée ln est la fonction définie et dérivable  $\left]0; +\infty\right[$ qui s'annule en $1$ et qui
a pour fonction dérivée la fonction définie par $\dfrac{1}{x}$.

Autrement dit :

$\bullet$ L'ensemble de définition de la fonction $ln$ est$\left]0; +\infty\right[$  et pour tout $x\neq\left]0; +\infty\right[$ ,l'image de $x$ par la fonction népérien est le réel noté $ln x$

$\bullet ln 1=0$.

$\bullet$La fonction $ln$ est   dérivable sur sur  $\left]0; +\infty\right[$ et pour tout $x>0$, on a $(ln)'(x)=\dfrac{1}{x}$.

2. Propriétés :

Si$a>0$ et $b>0$ et alors on a :

(propriété fondamentale)
$ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=ln a$

$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln a-ln b$.
Pour tout nombre rationnel $r,ln a^{r}=r ln a$

$ln\sqrt{a}\dfrac{1}{2}ln a$

Remarque

$\dfrac{ln a}{ln b}\neq ln a -ln b$

$(ln a)^{r}\neq r ln a$

Exemple :Exprimons à l'aide de $ln 2$ et $ln 3$ , le nombre suivant :
$ln(2\times 3)ln\dfrac{1}{3}ln2^{3}=ln\dfrac{3}{2}$

3. Représentation graphique de $ln$

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ln x$
$\bullet D_{f}=\left]0;+\infty\right[$

$\bullet$ Limites aux bornes de :$D_{f}$.

$\lim\limits_{x\longrightarrow \,0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\longrightarrow \,0^{+}}ln x=-\infty$

$\lim\limits_{x\longrightarrow \,+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\longrightarrow \,0^{+}}ln x=+\infty$
$\bullet$ Branches infinies

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,0^{+}}f(x)=-\infty$ donc la droite d'équation $x=0$
est une asymptote verticale de$C_{f}$

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\longrightarrow \,-\infty}\dfrac{ln x}{x}=0$ donc l'axe des abscisse est une branche parabolique se $C_{f}$en $+\infty$.

$\bullet$ Tableau de variation

Pour tout $x\neq \left]0 ;\infty\right[,f'(x)=(ln)'(x)=\dfrac{1}{x}$ or $\dfrac{1}{x}>0$ sur $\left]0 ;\infty\right[$ donc $f$ est strictement
croissante sur $\left]0 ;\infty\right[$ .

$\bullet$ Remarque

Il existe un unique $e\in\left]0 ;\infty\right[$;ln e=1$ réel noté e tel que ; $e$
est $e\approx 2,718$.

Courbe représentative de $ln$

L'équation de la tangente aux points d'abscisses $1$
et $e$
 
 L'équation de la tangente $(T')$ à $C_{f}$
à au point d'abscisse $1$ est $(T):y=f'(1)(x-1)+f(1)=(x-1)$
.
L'équation de la tangente $(T')$ à $C_{f}$
à au point d'abscisse $(T):y=f'(e)(x-e)+f(e)=\dfrac{1}{e}(x-e)+1=dfrac{1}{e}x$

Tableau de valeurs

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x& 1& e& 4& 5& 6\\
\hline
ln x& 0& 1& 1,4& 1,6& 1,8\\
\hline
\end{array}$$

Courbe

II. Equations et inéquations faisant intervenir ln

1. Equations

$\bullet$ Propriété

Si$a>0$ et $b>0$ alors on a :$ln(a)= ln(b)\Leftrightarrow a=b$
$\bullet$ Equation du type $ln(u(x))\leq ln(v(x))$

On résout le systéme d'inéquation $$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
u(x)&>&0\\
v(x)&>&0
\end{array}\right.$$.L'ensemble des solutions de ce systéme est appelé domaine de validité de l'équation équation et est noté $D_{v}$
Dans $D_{v}$ l'équation  $ln(u(x))\leq ln(v(x))$ devient $u(x)=v(x)$.

Ainsi on résout
dans $D_{v}$ équation $u(x)=v(x)$.

$\bullet$ Exemple :

Résolvons dans $\mathbb{R}$ équation $ln(-x+1)=ln(2x+6)$

2. Inéquations

$\bullet$ Propriété

Si $a>0$ et $b>0$ alors on a :

$ln(a)\leq ln(b)\Leftrightarrow a\leq b$

$ln(a)\leq ln(b)\Leftrightarrow a\geq b$

NB : Dans chacun des cas ci-dessus, les inégalités larges peuvent être remplacées par des
inégalités strictes.

Inéquation du type $ln(u(x))\leq ln(v(x))$

Pour résoudre une telle inéquation, on procède ainsi :
On détermine $D_{v}$ en résolvant le système $$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
u(x)&>&0\\
v(x)&>&0
\end{array}\right.$$

Dans $D_{v}$ inéquation $ln(u(x))\leq ln(v(x))$ devient $u(x))\leq v(x))$

Ainsi on résout
inéquation $u(x))\leq v(x))$ dont l'ensemble des solutions sera notée $S_{1}$.

L'ensemble des solutions $S$ de l'équation est donnée par $S=S_{1}\cap D_{v}$

Exemple :

Résolvons dans $\mathbb{R}$, inéquation $ln(2x-1)\leq ln(x+1)$

Nb : Pour résoudre une inéquation du type ,$ln(u(x))\geq ln(v(x))$ on procède de la
même manière mais en remplaçant par$\leq par\geq$ .

III. Fonctions faisant intervenir $ln$

1. Limites usuelles

$\lim\limits_{x\longrightarrow \,0^{+}}xln x)=0 $

Si $n$ est un entier naturel
non nul alors $\lim\limits_{x\longrightarrow \,0^{+}}ln x)=0 $

2. Ensemble de définition

Soit $u$ une fonction et $f$ la fonction définie par $f(x)=ln\left[u(x)\right]$ .

$f(x)$ existe ssi existe et $u(x)>0$

$\bullet$Exemple

Déterminons l'ensemble définition de la fonction $f$ tel que $f(x)=left(\dfrac{x+1}{x-1}$

3. Limites de $ln\left[ u(x)\right]$.

Pour calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow \,a}ln\left[ u(x)\right]$,on calcule d'abord $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}u(x)$

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}u(x)=b$ avec $b>0$ alors
$\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}ln\left[ u(x)\right]=ln b$
Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}u(x)=0$ alors $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}ln\left[ u(x)\right]=-\infty$

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}u(x)=+\infty$ alors $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}ln\left[ u(x)\right]=+\infty$

Exemple : calculons les limites suivantes

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}ln\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)$

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}ln\left(\dfrac{x+1}{x^{2}+1}\right)$

$\lim\limits_{x\longrightarrow\, 0}ln\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=$

4. Dérivée

Si $f(x)=ln\left[u(x)\right]$ alors $f'(x)=ln'\left[u(x)\right]=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

$\bullet$ Exemple

$f(x)=ln\left(x^{x}+x-6\right)$.

Calculons $f'(x)$ .