Racines particulières !!!
L'équation $x^{2}-3x+q=0$ a deux racines réelles $\alpha$ et $\beta$
Sachant que $\alpha^{3}+\beta^{3}=81.$,trouve la valeur de $q$
Équation de degré $4$ !!!
Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^{4}+16x-12=0$
Montrer que $\alpha^{3}+\dfrac{1}{\alpha^{3}}$ est un entier.
Les nombres pointus !!!
On appelle nombre « pointu » un nombre entier naturel à trois chiffres distincts dont le plus grand chiffre est celui des dizaines.
Combien y a-t-il de nombres « pointus » non divisibles par $5$
A) Soit $P$ un polynôme défini par : $P(x)= 2x^{4}-x^{3}-26x^{2}+ax+2b$
1) Déterminer les réel $a$ et $b$ pour que $1$ et $3$ soient des racines de $P$
2) On pose $a=37$ et $b=6$
a) Déterminer par la méthode de Horner le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)(x-3)Q(x)$.
b) Factoriser $Q(x)$ puis en déduire une factorisation complète de $P(x)$.
c) Résoudre dans IR :
i)$P(x)= 0; ii)P(-x+2)=0 ; iii)P(x)<0$
Exercice 1 :
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ et m un réel différent de $-2$
On considère l'application $f$ du plan dans $\mathbb{R}$ par : $f(M)=MA^{2}+MB^{2}+mMC^{2}$
1. Justifier l'existence du point $G_{m}$ barycentre du système :
${(A\;,1)\ ;\ (B\;1)\ ;\ (C\;,m)}$
2. Montrer que $f(M)=(2+m)MG_{m}^{2}+f\left(G_{m}\right)$
3. Montrer que : $f(A)+f(B)+mf(C)=(2+2m)AB^{2}$
4. Calculer $f(A)+f(B)+mf(C)$ en fonction de $f\left(G_{m}\right)$
Exercice 1
Samba et Ngor sont deux bergers.
Samba le peul dit à son cousin sérère Ngor :
« Si tu me donnes un mouton, j'aurai le double de ce que tu as ; mais si je te donne un mouton, nous aurons le même nombre »
Trouve le nombre de moutons de chacun
Exercice 2
1. Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ le système
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+2&\leq& 0\\ x-y+1&>&0 \end{array}\right.$$
Exercice 1
I. Résoudre dans $\mathbb{R}$
a. $\sqrt{x^{2}-2x-3}-x-4=0$ ;
b. $\sqrt{-x^{2}-x+2}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ ;
c. $\sqrt{2x^{2}-3x-2}\leq 1-x$ ;
d. $\sqrt{x^{2}-3x+1}>\sqrt{2x^{2}+x+1}$
e. $\sqrt{x^{2}-5x+4}>x-2$
II. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y+z&=&5&\\ x+2y+z&=&\\ -3x+2y+4z&=&3 \end{array}\right.$$
Exercice 2