Première

Exercice 1

Répondre par vrai ou faux

1. Le couple $(-1\ ;\ 2)$ est une solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} -2x+3y&=&8\\
x-2y&=&5\\ \end{array}\right.$

Exercice 1

Il s'agit de compléter chacun des énoncés suivants.

Trois réponses sont proposées et une seule est exacte.

Aucune justification n'est demandée.

Questions de cours :

Complète les pointillés

1. On appelle racine réelle d'un polynôme $P$ tout nombre réel $a$ tel que $\ldots$

2. Si un polynôme $P$ a une racine réelle $a$, alors on peut factorisé $P(x)$ par $\ldots\ldots$, il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x)=\ldots\ldots\ldots$

Exercice 1

1. Relier chaque système à son triplet solution

I. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2y+z&=&8\\ x-y-z&=&-4\\ x+4y-5z&=&-6 \end{array}\right.$

II. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2y+z&=&8\\ x-y-z&=&-5\\ x+4y-5z&=&2 \end{array}\right.$

Exercice 1 

On considère l'équation \((E): (m + 1)x^2 + 2mx + m - 5 = 0\).

1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), l'existence et le signe des racines de \((E)\). $(1~\text{pt})$

2.  Déterminer \(m\) pour que \((E)\) ait deux racines \(x'\) et \(x''\) vérifiant \(-1 < x' < 1 < x''\). $(0.75~\text{pt})$

Exercice 1(08 points)

ABC est un triangle du plan tel que : AB = 4cm , AC = 5cm et \(\cos ((\widehat{A})=\frac{3}{5}\).

Exercice 1 (3 points)

     1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
    
        a. \(\sqrt{2x^{2} - 3x - 2} = 2x^{2} - 3x - 1 \) $(1~\text{pt})$
        b. \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} \geq x + 3      \) $(1~\text{pt})$
    
    2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\) : 
    \[
    (m^{2} - 1)(-2x^{2} + 3x - 1) < 0 \\ (1~\text{pt})
    \]

Exercice 2 (3 points)

Exercice 1 :

On donne le polynôme $f_{m}$ défini par : $f_{m}=x^{2}+2(m-1)x+m^{2}-1$ où $m$ est un

paramètre réel.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f_{m}(x)=0$

2. On suppose que $m<1$

Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $f_{m}(x)$ avec $x_{1}<x_{2}$

Étudier la position de $-m$ par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

a. $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=5$

b. $\sqrt{x^{2}+3x+6}-3x=x^{2}+4$

c. $\sqrt{x^{2}-1}\leq 2x+3$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$
le système suivant par la méthode du pivot de GAUSS :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} |x|5(y-2)-\dfrac{14}{x}&=&3\\ 5|x|+3(y-2)+\dfrac{2}{x}&=&3\\
3|x|+(y-2)-\dfrac{4}{x}&=&-1 \end{array}\right.$

Exercice 1

Cet exercice est composé de parties $A$, $B$ et $C$  dans une large mesure indépendantes.
 
Partie A :

On définit par $A$ l'ensemble des fonctions $f\ :\  [0\;,1]\rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant les conditions suivantes :