Olympiades

On prendra bien soin de préciser toute notation non donnée dans l'énoncé.

Toute affirmation devra être justifiée.

Il n'est pas interdit d'admettre certains éléments de démonstration (voire
des questions entières) afin de ne pas rester bloqué.

Mais ils doivent absolument être
mentionnés.

Il est demandé de ne pas recopier l'énoncé, on mettra seulement en évidence les
numéros des questions traitées.

Il est recommandé par contre d'annoncer ce qui va être démontré.

On prendra bien soin de préciser toute notation non donnée dans l'énoncé.

Toute affirmation devra être justifiée.

Il n'est pas interdit d'admettre certains éléments de démonstration (voire des questions entières) afin de ne pas rester bloqué.

Mais ils doivent absolument être mentionnés.

Il est demandé de ne pas recopier l'énoncé, on mettra seulement en évidence les
numéros des questions traitées.

Problème 1 :

Un numéro de téléphone particulier !!!

Un numéro de téléphone a la forme $ABC-DEF-GHIJ$, où chaque lettre représente un chiffre
différent.

Les chiffres de chaque partie du nombre sont dans l'ordre décroissant ; c'est-à-dire
$A>B>c\;,D>E>F$ et $G>H>I>J$

Test de présélection

Problème 1 :

L'étoile de matheux

Les nombres entiers de $1$ à $12$ doivent être placés dans les douze cases de l'étoile ci-dessous.

La position du nombre $12$ est donnée.

Les nombres écrits à l'extérieur de l'étoile sont les produits des nombres placés dans les cinq cases de l'étoile situées dans la direction de la flèche

Exercice 1 :

Maths et mots croisés

Remplis la grille des mots croisés  ci-dessous en utilisant les définitions suivantes :

1. Elle passe par un sommet du triangle et est perpendiculaire au côté opposé de ce sommet.

2. C'est la plus grande corde d'un cercle.

Problème 1 :

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x\in\mathbb{R}\;,f(x +2\,f)\left(\dfrac{x+2023}{x-1}\right)=4013-x.$

Calcul $f(2025)$

Problème 2 :

Soit $\Gamma_{1}$ et $\Gamma$ deux cercle se coupant aux poins $A$ et $B$

Problème 1 :

Dans la figure ci-dessous, $ABCD$ est un quadrilatère de périmètre $p.$

Démontre que :

$\dfrac{P}{2}\leq AC+BD\leq p$

Problème 1 :

Racines particulières !!!

L'équation $x^{2}-3x+q=0$ a deux racines réelles $\alpha$ et $\beta$

Sachant que $\alpha^{3}+\beta^{3}=81.$,trouve la valeur de $q$

Problème 2 :

Équation de degré $4$ !!!

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^{4}+16x-12=0$

Exercice 1 :

L'usine de savons

Une usine de savons fabrique des caisses ayant la forme d'un parallélépipède rectangle pouvant contenir chacune au maximum $24$ savons.

Elle décide de fabriquer des caisses « grand modèle » en triplant les dimensions des petites caisses. Combien de savons, une caisse « grand modèle » pourra-t-elle contenir ? Justifie ta réponse.

Problème 1

Problème 2