1. Vérifier que le triplet $\left(11\ ;\ 4\ ;\ -5\right)$ est solution du système suivant.
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&10\\ x-y+z&=&2\\ 4x-2y+z&=&31 \end{array}\right.$
2. Soit le polynôme défini dans $\mathbb{R}$ par : $P(x)=2x^{3}+b^{2}+cx+d$, où $b$, $c$ et $d$ sont des réels.
Soit le polynôme $P$ défini pour tout réel $x$ par : $P(x)=\left(-x^{2}+4\right)\left(ax^{2}+bx+c\right)$ avec $a$, $b$ et $c$ sont des réels tel que $a\neq 0.$
1. a Déterminer le degré du polynôme $P.$
b. Déterminer deux racines du polynôme $P$
2. On pose pour tout réels $x$, $g(x)=-2x^{2}+7x^{3}+5x^{2}-28x+12.$
Soit $\left(x_{i}\ ;\ y_{i}\right)\;,1\leq \mathrm{i}\leq n\;,\left(n\in\mathbb{N}^{\ast}\right)$ une série statistique double.
Recopier et compléter chacune des phrases suivantes par l'expression qui convient.
1. La droite de régression de $y$ en $x$ a pour coefficient directeur : $\alpha=\ldots$
2. Le coefficient de corrélation linéaire est $r=\ldots$
Dans un pays, lors de la $1^{ère}$ vague de la pandémie de Covid-$19$, $400$ cas positifs ont été décomptés durant le $1^{er}$ mois.
Chaque mois, le nombre de cas augmente de $5\%$
On note $U_{n}$ le nombre de cas positifs décomptés durant le nième mois de la pandémie.
1. Calculer $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$
1. Rappeler la définition d'une suite géométrique et celle d'une suite arithmétique.
2. Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$
3. Donner l'expression de un en fonction de $r$, $n$ et $u_{1}$
4. Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_{0}$
Préliminaire : Déterminant de deux vecteurs
1. Justifions que $\theta=\beta-\alpha$
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées ; une seule est exacte.
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point.
Une réponse inexacte ou une absence de réponse est notée $0$ point.
Recopie sur ta copie le numéro de la question associée à la réponse choisie
Exercice 1
1. Calculer de deux manières différentes le réel $A=\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3-\sqrt{2}\right)^{2.}$
2. Simplifier $B=3\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}-\sqrt{72}+3\sqrt{2}$
Exercice 2
Résoudre dans $\mathbb{R}$
1. $2x+3<3x+4$
2. $\dfrac{x^{2}+2x}{x}=0$
3. $3x^{2}-4x=0$
4. $\dfrac{3x+2}{2}=\dfrac{1}{2}$
5. $\dfrac{x+1}{x}>1$
6. $16x^{2}-25=0$
7. $(2-5x)(x+7)+(8-x)(2-5x)=0$
8. $|2x-1|=2$
9. $|x|\leq 2$
Exercice 1
Soient $f$ et $g$ deux application telles que : $f(x)=-3+2$ et $g(x)=x^{2}-5$
1. Déterminer $fog(x)$ et $gof(x)$
2. Calculer $fog(x)$ pour $x=2$ de deux manière différentes.
Exercice 2
1. Soit $P(x)=-x^{4}+2x^{3}-x+2$
a. Calculer $P(-1)$ et $P(2)$
b. Factoriser $P(x)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$
a. $(x+1)(x-2)\left(-x^{2}+x-1\right)=0$
b. $(x+1)(x-2)\left(-x^{2}+x-1\right)<0$