On précise que les questions sont indépendantes.
1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
PPCM(a\;,b)&=&3PGCD(a\;,b)&=&276\\ 10&<&PGCD(a\;,b)&<&30 \end{array}\right.$
Cet exercice est composé de parties dans une large mesure indépendantes
On désigne par $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.
On note $U=\lbrace z\in\mathbb{C}|z|=1\rbrace$
On dit que $P\in\mathbb{C}[X]$ stabilise $U$ si $P(U)\subseteq U$
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : $9^{p+q-1}\equiv 1[pq]$ et $p<q$
1. a Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.
b. En déduire que $9^{p-1}\equiv 1[p]$ et $9^{q}\equiv 1[p]$
Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule est exacte.
Pour répondre, écrire le numéro de l'énoncé et la lettre correspondante à la réponse choisie.
Au cours d'analyse vous avez vu que les courbes représentative des fonctions du second degré $f(x)=ax^{2}+bx+c$ sont appelés <<paraboles>> et que celles de certains fonctions homographiques $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ sont appelées<<hyperboles>>.
A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
a. $-2x+1=\sqrt{x^{2}+5}$
b. $x+1>\sqrt{x(x-1)}$
B. Soit $P(x)=ax^{4}+bx^{3}-4x^{2}-3x+c$
1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que
$P(x)$ est divisible par $(x+1)(x+2)(x-1)$
2. En admettant que $a=2$ ; $b=3$ et $c=2$ donner une factorisation complète de $P(x)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P\left(x^{2}-1\right)=0$
Exercice 1
NB : Les questions $1$, $2$, $3$ et $4$ de cet exercice sont indépendantes
1. Écrire $A$ le plus simplement possible, sans radical ni valeur absolue :
$A=\sqrt{\left(6-\sqrt{5}\right)^{2}}+\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+\left|3-\sqrt{5}\right|$
2. Écrire $B$ sous la forme $2^{m}3^{n}5^{p}$ où $m$, $n$, $p$ sont dans $\mathbb{Z}$ :
Pour chaque item, choisis la bonne réponse.
Une bonne réponse rapporte $1$ points
1. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$
a. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$
b. En déduire les solutions de l'équation :
$\left(\sqrt{x+1}\right)^{3}-6\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}+11\sqrt{x+1}-6=0$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&1\\ -x+3y&=&1
\end{array}\right.$
2. Résoudre par le méthode du pivot de Gauss le système suivant :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+2z&=&5\\ 2x+2y-z&=&3\\ -x+3y+z&=&8 \end{array}\right.$