$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Fonction }&\text{Ens. de déf}&\text{Lim. en }0&\text{Lim. en }+\infty&\text{Lim en }-\infty\\ \hline x\mapsto x^{n}(n\text{ pair})&]-\infty\ ;\ +\infty[&0&+\infty&+\infty\\
Dans $]-\pi\ ;\ \pi]$
1. $x\in\left\lbrace -\dfrac{3\pi}{4}\;,-\dfrac{5\pi}{12}\;,\dfrac{\pi}{4}\;,\dfrac{7\pi}{12}\right\rbrace$
2. $x\in\left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\;,-\dfrac{\pi}{2}\;,0\;,\dfrac{\pi}{6}\;,\dfrac{2\pi}{3}\;,\dfrac{5\pi}{6}\right\rbrace$
3. $x\in\left\lbrace 0\;,\dfrac{\pi}{2}\right\rbrace$
Résoudre dans l'intervalle $[0\ ;\ 2[$, puis dans l'intervalle $]-\pi\ ;\ \pi]$ les inéquations suivantes :
1. $2\cos x+1> 1$
2. $\sqrt{3}\cos x-1\leq 0$
3. $1-2\sin x\leq 0$
4. $2\sin x-\sqrt{3}< 0$
6. $\sqrt{3}\tan x-3\leq 0$
7. $4\cos^{2} x-2\left(\sqrt{2}-1\right)\cos x-\sqrt{2}> 0$
8. $4\sin^{2} x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin x+\sqrt{3}\leq 0$
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
$co\tan x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$
$1+\tan^{2} x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$
$1+co\tan^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x}$
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x_sin y$
Dans tout l'exercice, $\theta$ est un réel tel que $0<\theta <\dfrac{\pi}{2}$
On considère dans $C$ l'équation d'inconnue $z$ suivante: $$\left(E_{\theta}\right)\ :\ z^{2}-2z+\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=0$$
Soit $P_{\theta}$ le polynôme défini par :
$P_{0}(z)=z^{3}-\left(2+i\tan\theta\right)z^{2}+\left(1+\tan^{2}\theta+2i\tan\theta\right)z-i\tan\theta\left(1+\tan^{2}\theta\right)$
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré supérieur à $2$ vérifiant, pour tout $x$ réel :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(x)&=&(x-2)Q_{1}(x)-5\\ P(x)&=&(x+4)Q_{2}(x)+7 \end{array}\right.\text{ où }Q_{1}\text{ et }Q_{2}\text{sont des polynômes à coefficients réels.}$
Déterminer le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x^{2}+2x-8$
1. Énoncer clairement les théorèmes suivants.
a. Théorème des valeurs intermédiaires.
b. Théorème de la bijection.
c. Théorème de l'inégalité des accroissements finis $(TIAF)$
Déterminer les limites suivantes :
a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
A : $x^{3}+6x-7=0$ ;
B : $\sqrt{111-x}=x-5$ ;
C : $\sqrt{111-x^{3}-6x}=x^{3}+6x-5$
D : $\sqrt{x+2}\leq x$
2. Résoudre par la méthode de pivot de Gauss le système suivant :
Énoncer de manière concise et précise :
1.le théorème de Roll
2. le théorème des accroissements finis
3. le théorème des accroissements finis généralisés
4. le théorème de l'inégalité des accroissements finis
a. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et s'il existe de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in[a\;,b]$, $m\leq f'(x)\leq M$ alors $m(\ldots)\leq f(b)-f(a)\leq\ldots$