La fiche ci-dessous des prénoms, les moyennes de $4$ élèves
de la $T$ la composition du $1^{er}$ semestre.
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Prénoms}&\text{Moyennes}\\
\hline
\text{Awa}& 12,5\\
\hline
\text{Baba}& 8\\
\hline
\text{Codou}& 10\\
\hline
\text{Dior}& 11\\
\hline
\end{array}$$
i. Soit a un réel ou et $c$ est un réel.
On a alors $ \lim\limits_{n\longrightarrow\, a}c=c$
$(O, I, J)$ est un repère orthonormé et f est la fonction définie par .
1. Recopier et compléter tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x& -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\
\hline
f(x)&&&&&&&\\
\hline
\end{array}$$
2. Placer dans le repère $(O, I, J)$ tous les points du tableau puis les relier par
une courbe.
Le tableau suivant permet de factoriser un trinôme du second degré $ ax^{2}+bx+c$.
Soit l'équation $(E)\ :\ z^{3}+(1-8i)z^{2}-(23+4i)z-3+24i=0$
1.a. Montre que $3i$ est une solution de $(E)$
b. Résoudre dans $C$ l'équation $(E)$
2. dans le plan rapporté a un repère orthonormé on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1+2i\;,3i$ et $-2+3i$
soit $D$ le barycentre des points pondéré $(A\;,1)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$
1. Calculer $$\int^{2}_{1}\dfrac{cos\left(lnx\right)}{x}dx$$.
2.Donner la limite en $+\infty$ de la fonction $$f(x)=\dfrac{x\sin x -\sqrt{x}}{x^{2}-1}$$.
3..Donner le comportement au voisinage de $s=1$ de la même fonction.
4..Ecrire le nombre complexe $z=2i$ sous forme trigonométrique.
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ ; $2$ et $3$ avec les probabilités $a$ , $b$ et $\dfrac{3}{10}$ respectivement.
Calculer $\int^{2}_{1}\dfrac{cos\left(lnx\right)}{x}dx$.
2.Donner la limite en $+\infty$ de la fonction $f(x)=\dfrac{x\sin x -\sqrt{x}}{x^{2}-1}$.
3.Donner le comportement au voisinage de $s=1$ de la même fonction.
4.Ecrire le nombre complexe $z=2i$ sous forme trigonométrique.
A tout couple de nombre réels $(\eta\;,\lambda)$, on associe le nombre réel $\Gamma^{\eta}_{\delta}(\eta\;,\lambda)$ définie par :
$$\Gamma_{\delta}^{\eta}(\eta\;,\lambda)=\int_{0}^{\mu_{\eta}}\left[\mathrm{e}^{x+\delta}-\eta\mathrm{e}^{\delta}\sin x-\lambda\mathrm{e}^{\delta}(1+\cos x\right]^{2}dx$$ ; où
$\bullet\ $Le sujet comporte quatre pages numérotées de $1$ à $4$
$\bullet\ $L'exercice $1$ est composé de $10$ questions indépendantes entre celle, toutes notées sur $1$ point.
Une note strictement inférieure à $6$ est éliminatoire.
Toutefois, cet exercice ne comportera que pour un cinquième dans la note de cette première épreuve.
$-\ $On désigne par $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels.