1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes.
a. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}=|2x+2|$
b. $\sqrt{1-2x}\geq 2x+11$
c. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
d. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$
a. Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ tel que $P(O)=O$ et pour tout réel $x$, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$
Soit $f$ l'application définie par : $f\ :\ ]2\ ;\ +\infty[\mapsto \mathbb{R}\\ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{1-x}$
1. Montrer que $f$ est injective
2. Montrer que $\left(\forall x\in\left]2\ ;\ \infty\right[\right)\;,f(x)< -4$
3. $f$ est-elle surjective ?
4. Soit $g$ l'application définie par
Il sera tenu compte, pour l'évaluation des copies, de la présentation ainsi que la clarté et de la rigueur des solutions proposées.
Les téléphones portables sont interdits.
On considère la fonction définie par $f(x)=1+\sqrt{x+4E\left(\dfrac{x}{4}\right)}$
1. Montrer que $D_{f}=\mathbb{R}$
2. Montrer que $4$ est une période de la fonction $f$
On pose $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
1.Vérifier que $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
2. (a) Montrer que $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\left(\cos x+\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)\left(\sin x-\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)$
Déterminer les domaine de définitions des fonctions définies ci-dessous :
$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{xE(x)}$
$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}&\text{ si }& &<&0\\ x+\sqrt{2x^{2}+x}&\text{ si }x&\geq& 0 \end{array}\right.$
Soit $a, b$ et $c$ trois réels et $P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ un polynôme.
On suppose que $P (x)$ admet trois racines $α ,β$ et $γ$.
1. a) Développer $(α + β + γ)²$ et $(αβ + βγ + γα)² $
b) Déterminer en fonction de $x, a, b$ et $c$,le polynôme unitaire $Q(x)$ ayant pour racines $α^{2},
β^{2}$ et γ²$.
2. a) Montrer que le polynôme $Q (x²)$ peut s’écrire sous la forme :
$Q (x²) = P(x) ×R(x)$ où $R (x)$ à déterminer.
On considère la fonction numérique définie par : $f(x) = \dfrac{\sin x − \cos x}{\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x}$
1. (a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :$\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x = 0 $
(b) Déduire $D_{f} $
2. Montrer que pour tout $x \in D_{f} , f(x) = \dfrac{\tan x − 1}{2\sin x −\sqrt{2}}$
(a) Résoudre dans $[0; 2\pi]$ l’équation $f(x) = 0$
Considérons la fonction définie par $f(n) Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})$.
L’objectif de cette partie est de montrer que$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} f(n)=\dfrac{1}{2}$.
1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1 )(k+1 )}{k\times k}$.
2. Montrer que $Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.
Soit $P$ le polynôme de degré $3$ dont la somme des coefficients est $-24$ tel que divisé par $x^{2}+x+1$ donne $59x-47$ comme reste et est divisible par $x-5$
1.Expliquer pourquoi $P(x)=\left(x^{2}+x+1\right)(ax+b)+59x-47$ avec $a$ et $b$ deux réels
2. Montrer que $P(x)=x^{3}-12x^{2}+47x-60$
3. En déduire la résolution de l'équation $\sqrt{x^{3}-8^{2}+15x+4}=2x-8$
1. Soit le polynôme $P(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r$ admettant trois racines $a$, $b$, et $c$ toutes différentes de $I$, où $p$ ; $r$ sont des réels.
Exprimer le réel $N=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-b}+\dfrac{1}{1-c}$ en fonction de $p$ ; $q$ et $r$
2. Soit $Q(x)$ un polynôme divisible par $(x+1)$ et par $(x-2)$ et dont le reste de la division euclidienne par $(x-1)$ est $-2$